习题8?7
1? 求函数z?x2+y2在点(1? 2)处沿从点(1? 2)到点(2, 2?3)的方向的方向导数
解 因为从点(1? 2)到点(2, 2?3)的向量为l?(1, 3) 故
el?l?(1, 3)?(cos?, cos?)
|l|22 又因为
?z?2x(1,2)?2? ?z?2y(1,2)?4?x(1,2)?y(1,2)故所求方向导数为
?z??zcos???zcos??2?1?4?3?1?23 ?l?x?y22
2? 求函数z?ln(x?y)在抛物线y2?4x上点(1? 2)处? 沿这抛物
线在该点处偏向x轴正向的切线方向的方向导数?
解 方程y2?4x两边对x求导得2yy??4 解得y??2
y
在抛物线y2?4x上点(1? 2)处? 切线的斜率为y?(1)?1 切向
量为l?(1
1)
单位切向量为el?(1, 1)?(cos?, cos?)22
又因为
?z?1 ?1? ?z?1 ?1?x(1,2)x?y(1,2)3?y(1,2)x?y(1,2)3
故所求方向导数为
?z??zcos???zcos??1?1?1?1?2
?l?x?y32323
22y2y2xxab 3? 求函数z?1?(2?2)在点(, )处沿曲线2?2?1abab22在这点的内法线方向的方向导数?
22yy2xF? 解 令F(x,y)?2?2?1 则Fx?2x yb2a2ab
从而点(x y)处的法向量为
2y, ) n??(Fx, Fy)??(2xa2b2
在(a, b)处的内法向量为
22
2y2, 2), )??( n??(2xa2b2(a2,b2)ab
单位内法向量为
en?(?2b2, ?2a2)?(cos?, cos?)a?ba?b
又因为
2 ?zab??2x???x(2,2)a2(a2,b2)a2y ?zab??2ab??2?y(2,2)b(2,2)b
所以 ?z??zcos???zcos??n?x?y
?2?2b2?2?2a2?2a2?b2aa?bba?bab
4? 求函数u?xy2?z3?xyz在点(1? 1? 2)处沿方向角为?? ??
3?? ?? ?? ?的方向的方向导数?
43 解 因为方向向量为
l?(cos?,cos?,cos?)?(1, 2, 1)222又因为
?u?(y2?yz)(1,1,2)??1?x(1,1,2) ?u?(2xy?xz)(1,1,2)?0?y(1,1,2)
?u?(3z2?xy)(1,1,2)?11
?z(1,1,2)所以 ?u??ucos???ucos???ucos??l?x?y?z ?(?1)?1?0?2?11?1?5222的方向的方向导数? 解 因为
5? 求函数u?xyz在点(5?1?2)处沿从点(5? 1? 2)到点(9? 4? 14)
l?(9?5? 4?1? 14?2)?(4? 3? 12)
el?l?(4, 3, 12)|l|131313并且 ?u?yz(5,1,2)?2?x(5,1,2) ?u?xz(5,1,2)?10?y(5,1,2) ?u?xy(5,1,2)?5?z(5,1,2)
所以 ?u??ucos???ucos???ucos??l?x?y?z ?2?4?10?3?5?12?9813131313 6? 求函数u?x2?y2?z2在曲线x?t方向导 为t?1
1
y?t2 z?t3上点(1
1)处 沿曲线在该点的切线正方向(对应于t增大的方向)的
解 曲线x?t
在点(1
y?t2 1
z?t3上点(1 1
1)对应的参数
1)的切线正向为
l?(1, 2t, 3t2)t?1?(1, 2, 3) el?l?(1,2,3)|l|141414?2x(1,1,1)?2又 ?u?x(1,1,1)
?u?2y(1,1,1)?2?y(1,1,1) ?u?2z(1,1,1)?2(1,1,1)?z
所以 ?u??ucos???ucos???ucos??l(1,1,1)?x?y?z ?2?1?2?2?2?3?1214141414 沿球面在该点的外法线方向的方向导数 解 令F(x(x0
y0
y
z)?x2?y2?z2?1
7? 求函数u?x?y?z在球面x2?y2?z2?1上点(x0
y0
z0)处
则球面x2?y2?z2?1在点
z0)处的外法向量为
000
n?(Fx, Fy, Fz)(x,y,z)?(2x0, 2y0, 2z0)
en?n?(x0, y0, z0)?(cos?,cos?,cos?)|n|又 ?u??u??u?1?x?y?z
所以 ?u??ucos???ucos???ucos??n?x?y?z ?1?x0?1?y0?1?z0?x0?y0?z0
8? 设f(x? y? z)?x2?2y2?3z2?xy?3x?2y?6z? 求grad f(0? 0? 0)及grad f(1? 1? 1)? ?f?f?f?2x?y?3 ?6z?6 ?4y?x?2 解 ?x?z?y ?f?f?f?3??2因为 (0,0,0)(0,0,0)??6(0,0,0)?x?z?y
同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案8-7 - 图文
