贵州省望谟一中2011-2012学年高二下学期4月月考理科数学试题
I 卷
一、选择题
1．已知?ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足：PA?PB?PC?0，若实数?满足：
AB?AC??AP，则?的值为（ ）
A．3 B．23
C．2 D．8
【答案】A
2． 已知点P为?ABC所在平面上的一点，且AP?13AB?tAC，其中t为实数，若点P落在?ABC的内部，则t的取值范围是（ ） A．0?t?1t?124 B．0?t?13 C．0?2 D．0?t?3 【答案】D
3．已知向量m?n的夹角为?6，且|m|?3,|n|?2,|m?n|? ( ） A．1 B．2
C．3
D．4
【答案】A
4．已知向量a?(2,3)，b?(?1,2)，若ma?nb与a?2b共线，则
mn等于（ ） A．?2； B．2
C．?12 D．12
【答案】C
5．已知两点A(?1,0),B(1,3)，向量a?(2k?1,2),若AB?a，则实数k的值为（ ） A．-2 B．-1
C．1
D．2
【答案】B
6．设OM?(1,12)，ON?(0,1)，则满足条件0?OP?OM?1，0?OP?ON?1的动点P的变
化范围（图中阴影部分含边界）是
【答案】A 7．已知?ABC中，
AB?(2,3),AC?(k,1),A?π2，则k的值为（ ） A．?11113 B．
3 C．?32 D．32
【答案】C
用心 爱心 专心 1
）(
8．在?ABC中，AB?3,AC?2，若O为?ABC内部的一点，且满足OA?OB?OC?0，则
AO?BC?（ ）
A．1 22B．5
C．13
D．14
【答案】C
9．若a与b?c都是非零向量，则“a?b?a?c”是“a?(b?c)”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C
?????????10．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为（ ）A．150° B．120° C．60° D．30° 【答案】B
11．对于非零向量m,n，定义运算“?”：m?n?|m|?|n|sin?，其中?为m,n的夹角，
有两两不共线的三个向量a、b、c，下列结论正确的是 A．若a?b?a?c，则b?c B．a?b??(a?b) C．(a?b)c?a(b?c)
D．(a?b)?c?a?c?b?c
【答案】D
12． 如图，一个质点从原点出发，在与y轴.x轴平行的方向按（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→（2，2）…的规律向前移动，且每秒钟移动一个单位长度，那么到第2011秒时，这个质点所处位置的坐标是
A．（13，44）
B．（14，44） C．（44，13）
D．（44，14）
【答案】A
用心 爱心 专心 2
）
(
( II卷
二、填空题
13．已知点A1,1,B5,3，向量AB绕点A逆时针旋转标是 。 【答案】(3,?3) 14．点O在
内部且满足
，则
的面积与凹四边形.
的
3?到AC的位置，那么点C的坐2面积之比为________.
4 【答案】5：15．如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别在边CD和BC上，且DC?3DE,BC?3BF，若AC?mAE?nAF，其中m,n?R，则m?n? _________.
【答案】
3 23,那么n? 816．如图所示,OC?2OP,AB?2AC,OM?mOB,ON?nOA,若m?
【答案】3
4
用心 爱心 专心 3
三、解答题
6π
17．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(，0)，P(cosα，sinα)，其中0≤α≤．
52
(1)若cosα＝5
6
，求证：PA⊥PO；
(2)若PA∥PO，求sin(2α＋π
4
)的值．
【答案】(1)法一：由题设，知PA＝(6
5
－cosα，－sinα)，
PO＝(－cosα，－sinα)，
所以PA·PO＝(65
－cosα)(－cosα)＋(－sinα)2
＝－65cosα＋cos2α＋sin2
α
＝－6
5
cosα＋1.
因为cosα＝5
6，所以PA·PO＝0.故PA⊥PO.
法二：因为cosα＝56，0≤α≤π2，所以sinα＝11
6，
所以点P的坐标为(511
6，6
)．
所以PA＝(1111511
30，－6)，PO＝(－6，－6)．
PA·PO＝1130
×(－5(－
116)＋6)2
＝0，故PA⊥PO.
(2)由题设，知PA＝(6
5
－cosα，－sinα)，
PO＝(－cosα，－sinα)．
因为PA∥PO，所以－sinα·(6
5
－cosα)－sinαcosα＝0，即sinα＝0.
因为0≤α≤π
2，所以α＝0.
从而sin(2α＋π2
4)＝2
．
18．已知向量a??(cosx,sinx),b??(?cosx,cosx),c??(?1,0).
(1）若x??,求向量a?,c?6的夹角； (2）当x?[?,9?2]时，求函数f(x)?2a??b?8?1的最大值。
【答案】（1）当x??时，
cos?a?,c???a??c?6?cosx|a?|?|c?|?cos2x?sin2x?(?1)2?02
用心 爱心 专心 4
??cosx??cos?6?cos5?. 6???0??a,c???,
??5???a,c??.
6??2(2）f(x)?2a?b?1?2(?cosx?sinxcosx)?1 ?2sinxcosx?(2cos2x?1)
?sin2x?cos2x?2sin(2x??4)
?9??x?[,],
28?3??2x??[,2?]
44故sin(2x?∴当2x??4)?[?1.2], 2?4?3??,即x?时,f(x)max?1.42
19．已知A,B,C是三角形ABC三内角，向量m=(-1,3),n=(cosA,sinA),且m·n=1.求角A; 【答案】? m·n=1，?(?1,3)?(cosA,sinA)?1?3sinA?cosA?1,即
。
?A??6??6,?A??320． 判断下列命题是否正确，并说明理由：
(1）共线向量一定在同一条直线上。 (2）所有的单位向量都相等。
(3）向量a与b共线，b与c共线，则a与c共线。 (4）向量a与b共线，则a//b
????????????
(5）向量AB//CD，则AB//CD。
(6）平行四边形两对边所在的向量一定是相等向量。 【答案】（1）错。因为两个向量的方向相同或相反叫共线向量，而两个向量所在直线平行时也称它们为共线向量，即共线向量不一定在同一条直线上。
用心 爱心 专心
5
(2）错。单位向量是指长度等于1个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的意义。
(3）错。注意到零向量与任意向量共线，当b为零向量时，它不成立。（想一想：你能举出反例吗？又若b?0时，此结论成立吗？）
(4）对。因共线向量又叫平行向量。
(5）错。平行向量与平行直线是两个不同概念，AB、CD也可能是同一条直线上。 (6）错。平行四边形两对边所在的向量也可能方向相反。
21．已知a＝(cosx＋sinx，sinx)，b＝(cosx－sinx,2cosx)． (1)求证：向量a与向量b不可能平行；
(2)若a·b＝1，且x∈[－π，0]，求x的值．
【答案】 (1)证明：假设a∥b，则2cosx(cosx＋sinx)＝sinx(cosx－sinx)．
222
即2cosx＋2sinxcosx＝sinxcosx－sinx,1＋sinxcosx＋cosx＝0， π?π?11＋cos2x32??1＋sin2x＋＝0，即2sin?2x＋?＝－3?sin?2x＋?＝－． 4?4?222??π?32?而sin?2x＋?∈[－1,1]，－<－1，矛盾．
4?2?
故假设不成立，即向量a与向量b不可能平行．
22
(2)a·b＝(cosx＋sinx)(cosx－sinx)＋2sinxcosx＝cosx－sinx＋sin2x＝cos2x＋sin2xπ??＝2sin?2x＋?， 4??
???
22．已知|a|?4,|b|?8, a与b的夹角??120?，求|a?b|.
【答案】|a?b|=(a?b)=a?2a?b?b=a?2|a|?|b|cos120??b =4?2?4?8?(?)?8=43
222222122用心 爱心 专心 6
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