2019年度第二学期期中考试
高二数学（理）
答题时间：120分钟，满分：150分
一、选择题：(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.)
1．已知复数z满足
，那么的虚部为（ ）
A．1 B． -i C．?1 D．i
2. 函数f(x)?1x在点（1,1）处的切线方程为：（ ） A. x?y?2?0 B. x?y?2?0 C. x?y?2?0 D. x?y?2?0 3.定积分?101?x2的值等于（ ）
A.
??2 B. 4 C. 112 D. 4
4.下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A.某校高三有8个班,1班有51人,2班有53人,3班有52人,由此推测各班人数都超过50人 B.由三角形的性质,推测空间四面体的性质
C.平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分
D.在数列?a1?n?中，a1?1，an?2???a1?n?1?a?，由此归纳出?an?的通项公式 n?1??5．曲线y?cosx(0?x?3?2)与坐标轴所围成图形面积是（ ） A．4
B．2
C．
D．3
6. 函数f(x)?lnx?3x的单调递减区间是( )
A. (??,0) B. (0,1) C. (1,??) D. (??,0)和(1333,??)
7、函数f(x)?12x?sinx的图象大致是（ ） - 1 -
8. 已知函数f(x)?x3?ax2?bx?c，下列结论中错误的是（ ） A.?x0?R，f(x0)?0
B.函数y?f(x)的图象是中心对称图形
C.若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(??,x0)单调递减 D.若x0是f(x)的极值点，则f'(x0)?0
9．在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前100个圈中的●的个数是( )
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
10.已知复数2i?3是方程2x2?px?q?0的一个根，则实数p，q的值分别是（ ） A.12，26
B.24，26
C.12，0
D.6，8
11.已知函数f(x)?a(x?1)?lnx在[1,??)上是减函数，则实数a的取值范围为（ ） x?1A．a?1 B．a?2 C．a?2 D．a?3
12. 已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数，且满足以下条件： ①f(x)为奇函数，g(x)为偶函数； ②f(1)?0,g(x)?0； ③当x?0时，总有f(x)gg?(x)?f?(x)gg(x).则
f(x?2)?0的解集为（ ）
g(x?2)A．(1,2)U(3,??) B．(?1,0)U(1,??) C．(?3,?2)U(?1,??) D．(?1,0)U(3,??)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13、给出下列不等式:
- 2 -
………
则按此规律可猜想第n个不等式
为 14、利用数学归纳法证明
“(n?1)(n?2)???(n?n)?2n?1?3?????(2n?1),n?N* ”时，从“n?k”变到 “n?k?1”时，左边应增乘的因式是 ________．
15. 曲线y?lnx上的点到直线2x?y?3?0的最短距离是________
16．若函数f(x)?x3?x2?mx?1在R上无极值点，则实数m的取值范围是_________. 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.(10分) 已知复数z?m2?m?6m?3?(m2?5m?6)i
（1）m取什么值时，z是实数？ （2）m 取什么值时，z是纯虚数？
18.(12分) 已知函数f(x)?12x2?lnx. （1）求函数f(x)的极值；
（2）求函数f(x)在[1,e]上的最大值和最小值.
19. （12分） 数列?a1n?中，an?n(n?1)，前n项的和记为Sn．
（1）求S1,S2,S3的值，并猜想Sn的表达式； （2）请用数学归纳法．．．．．
证明你的猜想． 20. (12分)如图计算由直线y＝6－x，曲线y＝8x以及x轴所围图形的面积．
- 3 -
21、(12分)已知函数f?x??ln?x?a??x2?x在x?0处取得极值
（1）求实数a的值； （2）若关于x的方程f?x???52x?b在区间?0,2?上有两个不同的实根，求实数b的取值范围．
22. (12分) 已知函数f(x)?x3?ax2?bx?c在x＝－1与x＝2处都取得极值． (1)求a,b的值及函数f(x)的单调区间； (2)若对x?[?1,3]，不等式f(x)?32c?c2恒成立，求c的取值范围．
- 4 -
沁县中学2017-2018学年度第二学期期中考试
高二数学（理）答案
一、 1 A 选择题（共12小题，每小题5分，共计60分） 2 D 3 B 4 C 5 D 6 C 7 C 8 C 9 A 10 A 11 B 12 A 二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分）
13. 14.
(2k?1)(2k?2)
k?115
16.m?1 3三、解答题（共6小题，17题10分，18至22题每题12分，共计70分）
17.（本小题满分10分） （1）解
当
时，z为实数 5分
（2）解：
当时，z为纯虚数 10分
18. （本小题满分12分）
(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
1（x＋1）（x－1）
且f ′(x)＝x－＝， …………………………………………3分
xx
1
所以f(x)在x＝1处取得极小值为． …………………………………………8分
2 (2)由(1)可知函数f(x)在上为增函数，……………………………………9分 ∴f(x)min＝f(1)＝
19. （本小题满分12分） （1）∵an?11，f(x)max＝f(e)＝e2?1．……………………………………12分 22123n1，∴S1?a1?，S2?a1?a2?S1?a2?，S3?S2?a3?∴猜想Sn?．
n(n?1)2n?1341（2）证明：①当n?1时，S1?a1?，猜想成立；
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2020学年高二数学下学期期中试卷 理 新人教-新 版
