（一）函数与导数中的高考热点问题
[命题解读] 1.函数是中学数学的核心内容，导数是研究函数的重要工具，因此，函数与导数是历年高考的重点与热点．
2．常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等．
3．涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等，中、高档难度均有．
利用导数研究函数的性质 函数的单调性、极值是局部概念，函数的最值是整体概念，研究函数的性质必须在定义域内进行，因此，务必遵循定义域优先的原则，本热点主要有三种考查方式：(1)讨论函数的单调性或求单调区间；(2)求函数的极值或最值；(3)利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围．
【例1】 (2018·天津高考节选)设函数f(x)＝(x－t1)(x－t2)(x－t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．
(1)若t2＝0，d＝1，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)若d＝3，求f(x)的极值．
[解] (1)由已知，可得f(x)＝x(x－1)(x＋1)＝x3－x，故f′(x)＝3x2－1.因此f(0)＝0，f′(0)＝－1，又因为曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)(x－0)，故所求切线方程为x＋y＝0.
(2)由已知可得f(x)＝(x－t2＋3)(x－t2)(x－t2－3)＝(x－t2)3－9(x－t2)＝x3－
33t2x2＋(3t22－9)x－t2＋9t2.
故f′(x)＝3x2－6t2x＋3t22－9.令f′(x)＝0，解得x＝t2－3，或x＝t2＋3. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f′(x) f(x) (－∞，t2－3) t2－3 (t2－3，t2＋3) t2＋3 (t2＋3，＋∞) ＋ ↗ 0 极大值 － ↘ 0 极小值 ＋ ↗ 所以函数f(x)的极大值为f(t2－3)＝(－3)3－9×(－3)＝63；函数f(x)的
极小值为f(t2＋3)＝(3)3－9×3＝－63.
[规律方法] 1.研究函数的性质，必须在定义域内进行，因此利用导数研究函数的性质，应遵循定义域优先的原则. 2.讨论函数的单调性，求函数的单调区间、极值问题，最终归结到判断f′?x?的符号问题上，而f′?x?＞0或f′?x?＜0，最终可转化为一个一元一次不等式或一元二次不等式问题. 3.若已知f?x?的单调性，则转化为不等式f′?x?≥0或f′?x?≤0在单调区间上恒成立问题求解. (2019·合肥模拟)已知函数f(x)＝aln x＋x2－ax(a∈R)．
(1)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间； (2)求g(x)＝f(x)－2x在区间[1，e]的最小值h(a)． [解] (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， 2x2－ax＋aa
f′(x)＝x＋2x－a＝，
x因为x＝3是f(x)的极值点， 所以f′(3)＝
18－3a＋a
＝0，解得a＝9. 3
2x2－9x＋9?2x－3??x－3?
所以f′(x)＝＝，
xx3
所以当0＜x＜2或x＞3时，f′(x)＞0； 3
当2＜x＜3时，f′(x)＜0.
3???3?
所以f(x)的单调递增区间为?0，2?和(3，＋∞)，单调递减区间为?2，3?.
????(2)由题知，g(x)＝f(x)－2x＝aln x＋x2－ax－2x. 2x2－ax＋a?2x－a??x－1?
g′(x)＝－2＝.
xx
a
①当2≤1，即a≤2时，g(x)在[1，e]上为增函数， h(a)＝g(1)＝－a－1；
a?a??a?
②当1＜2＜e，即2＜a＜2e时，g(x)在?1，2?上为减函数，在?2，e?上为增
????
函数，
a1?a?
h(a)＝g?2?＝aln2－4a2－a；
??
a
③当2≥e，即a≥2e时，g(x)在[1，e]上为减函数， h(a)＝g(e)＝(1－e)a＋e2－2e.
－a－1， a≤2，??a12
综上，h(a)＝?aln2－4a－a，2＜a＜2e，
???1－e?a＋e2－2e，a≥2e.
利用导数研究函数的零点问题 研究函数零点的本质就是研究函数的极值的正负，为此，我们可以通过讨论函数的单调性来解决，求解时应注重等价转化与数形结合思想的应用，其主要考查方式有：(1)确定函数的零点、图象交点的个数；(2)由函数的零点、图象交点的情况求参数的取值范围．
1
【例2】 (本小题满分12分)(2018·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝3x3－a(x2＋x＋1)．
(1)若a＝3，求f(x)的单调区间； (2)证明：f(x)只有一个零点．
[信息提取] 看到(1)求单调区间，想到导数与单调性的关系； 看到(2)f(x)只有一个零点，想到f(x)的单调性及函数有零点的条件． 1
[规范解答] (1)当a＝3时，f(x)＝3x3－3x2－3x－3，f′(x)＝x2－6x－3. 令f′(x)＝0解得x＝3－23或x＝3＋23.
当x∈(－∞，3－23)∪(3＋23，＋∞)时，f′(x)>0； 当x∈(3－23，3＋23)时，f′(x)<0.
4分 2分
故f(x)在(－∞，3－23)，(3＋23，＋∞)上单调递增，在(3－23，3＋23)上单调递减.
5分
2020版 高考大题增分课1 函数与导数中的高考热点问题
