第三章 导数及其应用
3.1 变化率与导数
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的增量?x应满足 A．?x?0 C．?x?0 【答案】D
【解析】在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的增量?x要求?x?0．故选D． 2．某物体的位移公式为s?s(t)，从t0到t0??t这段时间内，下列理解正确的是 A．(t0??t)?t0称为函数值增量
B．t0称为函数值增量 D．
B．?x?0 D．?x?0
C．?s?s(t0??t)?s(t0)称为函数值增量 【答案】C
?s称为函数值增量 ?t【解析】由自变量的增量、函数值的增量、平均变化率的概念易得C正确．故选C． 3．已知f(x)为可导函数，且f'(2)?4，则limh?0f(2?h)?f(2?h)? h
B．?8 D．?4
A．8 C．4
【答案】B 【解析】因为limh?0f(2?h)?f(2?h)f(2?h)?f(2?h)??2lim??2f'(2)??2?4??8，故选B． h?0h?2h4．如图所示，函数y?f(x)的图象在点P处的切线方程是y??x?8，则f(5)?f?(5)?
A．
1 2 B．1
C．2 D．0
【答案】C
【解析】易知f(5)??5?8?3．由导数的几何意义知f?(5)??1．故f(5)?f?(5)?3?1?2．故选C． 5．已知函数f(x)?2x2?1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1??x,1??y)，则A．4
B．4?2?x D．4?x?(?x)2
?y等于 ?xC．4??x 【答案】B
6．已知曲线y?f(x)?x2在点P处的切线斜率为k，则当k?2时，点P的坐标为 A．(?2,?8) C．(1,1) 【答案】C
B．(?1,?1) D．(?,?)
1218f(x0??x)?f(x0)(x0??x)2?x02【解析】设点P的坐标为(x0，y0)，则k?f?(x0)?lim?lim?
?x?0?x?0?x?x22lim(?x?2?x0)?2x0，即2x0?2，则x0?1，此时y0?x0?1?1，故点P的坐标为(1,1)．故选C． ?x?0二、填空题：请将答案填在题中横线上．
7．已知函数f(x)?2x?1，则f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________________． 【答案】2
【解析】由平均变化率的定义得f(2)?f(0)5?1??2．
2?02?x?08．若函数f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为y?2x?1，则lim【答案】2
f(x0)?f(x0??x)?________________．
?xf(x0)?f(x0??x)?f?(x0)?2．
?x?0?xf(1)?f(1?x)??1，则f?(1)?________________． 9．设函数f(x)满足limx?0x【解析】由题意可得lim
【答案】1
【解析】由题意可得f?(1)?limx?0f(1?x)?f(1)?1．
x10．曲线f(x)?2在点(?2,?1)处的切线方程为________________． x【答案】x?2y?4?0
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知s(t)?12gt，其中g＝10m/s2． 2（1）求t从3秒到3.1秒的平均速度； （2）求t从3秒到3.01秒的平均速度； （3）求t＝3秒时的瞬时速度．
【答案】（1）30.5(m/s)；（2）30.05(m/s)；（3）30(m/s)． 【解析】（1）?t?3.1?3?0.1(s)，?s?s(3.1)?s(3)?则v1?11?g?3.12??g?32?3.05(m)， 22?s3.05??30.5(m/s)． ?t0.111?g?3.012??g?32?0.3005(m)， 22（2）?t?3.01?3?0.01(s)，?s?s(3.01)?s(3)?则v2??s0.3005??30.05(m/s)． ?t0.01111g(3??t)2?g?32?3g?t?g(?t)2， 222（3）由瞬时速度的定义，可知?s?s(3??t)?s(3)??s1?s?3g?g??t，则v瞬时?lim?3g?30(m/s)．
?t?0?t?t21(a,b?Z)，曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y?3． 12．设函数f(x)?ax?x?b（1）求函数f(x)在x?x0处的导数； （2）求函数f(x)的解析式；
（3）证明：曲线y?f(x)上任一点的切线与直线x?1和直线y?x所围三角形的面积为定值，并求出此定值． 【答案】（1）a?112f(x)?x?；（）；（3）证明见解析．
(x0?b)2x?11)为函数y?f(x)上任意一点， x0?b【解析】（1）设P(x0，ax0?则
f?(x0)?limf(x0??x)?f(x0)?y?lim?lim?x?0?x?x?0?x?0?xa(x0??x)?11?ax0?x0??x?bx0?b
?x
高中数学 选修1-1 同步练习 专题3.1 变化率与导数(解析版)
