分式运算中常见误区归纳
分式是在整式运算、多项式因式分解、i元一次方程的解法基础上学习的。分式的运算 与整式的运算相比，运算步骤明显增多，符号更加复杂，解法更加灵活；因而更容易出现这 样或那样的错误，为帮助同学们弄清分式运算中的错误所在，本文归纳小结儿种错误原因如 下，供同学们学习时参考.
一、 忽视隐含条件
例1当*= 时，分式 一
兀2 _ 4
的值为零。
无2+5兀—14
错解：当X2-4 = 0,即沪±2时，上述分式的值为零.
评析：由于x=2时，分母x2+5x—14=0,因此分式无意义.故正确答案为：x=—2.
二、 轻易约分
a? — a — 2
例2.。为何值时，分式一
无意义？
+ 4ci + 3
错解：因为：2_d_2 =(d_2)@ + l)=口,由 a+3=o 得 a=—3,???当 a=—3 时 / + 4G + 3 (a + 3)(d
+ 1) G + 3 分式没有意义.
评析：分析：讨论分式有无意义及分式的值是否为零，一定要对原分式进行讨论，而不 能讨论化简后的分式.误解的原因是轻易的约掉分子、分母中的公因式(a+1),相当于分子、 分母同除以一个可能为零的代数式，扩大了分式中字母的取值范围，即放宽了分式成立的条 件。正确答案应为：a=—3或a=—1?
三、符号上的错误:
4 1
( )
例3化简 一+——的结果是
A、 B.
m + 6 7722 -4
1 -m + 2
错解: 原式= ---------------- + ----
m-2 (m + 2)(m 一 2)
nr -4 2-m
4 + (加 + 2)
(m + 2)(m + 2)
777 + 6
m -4
2评析：错误的原因是由于把(2m)变形为(im2)时没有改变分式的符号。
正解应为——4 ---------------------- = 4 5 + 2)=竺辺
(加 + 2)(m 一 2) m 一 2 (m + 2)(加 + 2)
- 4
故应选Ao
四. 通分时误去分母
例4?计第右-宀―
错解:原式=
x-1
—_(x2-x-l) = x3-(x-l)(x2 +x + l) = x3-(x3-l) = l
评析：错解把分式的化简与解方程去分母混同一体，分式化简的每一步变形的依据都是 依靠分式的基本性质，通分要保留分母，而不是去分母；
正解应为：原式j)=丄
x~\\ x~\\
五. 违背运算顺序
---------------------------------- X ______________ 例5?计算: _____________ 2 33222a-b a-2ab + b 1
1122a+b a-ab + b (b-a)
错解：原式
(a 4- b)(a - /?) (a-h)2
、，
1
a-b ---------------------------------------------- ? -------------------------- /\\ ------------------
x(a -ah + h)
22(a + b)(a2 -ab + b2) a2 -ab^b2 (a-b)2
a2 -ab + b2
= a-b.
评析：乘除法是同级运算，谁在前先作谁，而不应违反运算顺序。
a? — cib + 正解应为：
巴鳥;X)x
(a -
六、结果不是最简分式
5a - a2 一 6
错解: 原式= 1 十 1 a2
- 3a + 2 a2 - 5a + 6 1 1
(a-l)(a-2)+(a-2)(a-3)
@_3)+(a_l) _ 2a _ 4
(a - l)(a - 2)(a - 3) (a -1)(a - 2)(a - 3)
分析：本题错在分式化简的结果不是最简分式，应在分式
\—)(-3)的分子分母约去相同的因式(宀)°
正确答案为:
1
(a - bf
学习分式概念三注意
学习分式时，正确地理解分式概念是学好分式的关键，希望同学们在学习中应注意以 下三个方面.以防出现一些错误。
注意一、加强对分式概念的理解
x +1
例1判断0是分式还是整式，其中龙是圆周率.
7t 错解：因为出含有分母，所以出是分式.
兀 兀
分析：错解的原因是対分式的概念理解不透彻.要判断一个式子是否为分式，就是要看 分母中是否含有字
母?，所谓字母是指用来表示数的26个英文字母，这个字母是可取不同值
+ 1
的.而龙是常数不是一个字母，所以 一是整式而不是分式.
71
兀+1
正解：=不是分式.
71
注意二、分式有意义的条件
护一9
例2：例2：当。取什么值时，分式 ----------------- 有意义？
(a + 3)(a + 4)
错解:
ci~ —9 (a + 3)(d —3)
ci — 3
(d + 3)(d + 4)
(Q + 3)(Q + 4) Q + 4
(a+ 3)(。+ 4)有忌义°
分析:错误原因是当对分式一纟二^—约分后成为口，这样d的収值范围扩大了,
(a + 3)(a + 4) a+ 4
从而出现了只有4这种错误，像这种题目，既不要对原式进行化简，也不要对它进行 约分。
正解:由(a + 3)(° + 4) H 0, a + 3 H 0且a + 4 H 0
当a^-3且GM—4时，分式 ----------------- 有意义。
(67+ 3)(6/+ 4)
注意三、分式的值为零满足的条件
Y — 1
例3：当*= ____________ 时，分式 一的值为零。
x + 1
的值为零。
x —1 错解：当X—1 =0时，即“±1时，分式——
兀+ 1
分析：分式的值为0,必须具备两个条件，一是分式的分母不等于0,二是分式的分子 为0,二者缺一不可.只有同时具备这两条，才能确定分式的值为0?错解就忽略了分式的分母 不能为0的条件。
x — I
正解：当兀一1=0时，即x=±l,又因为X+1M0,即x#l,所以当x=l时，分式 ----------------- 的
兀+ 1 值为零。
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