考点07 函数与导数的综合应用（2）
【知识框图】
【自主热身，归纳提炼】
π0，?1、(2016南通、扬州、泰州、淮安三调）已知两曲线f(x)＝cosx，g(x)＝3sinx，x∈??2?相交于点A.若两曲线在点A处的切线与x轴分别相交于B，C两点，则线段BC的长为________．
2、(2018苏州期末）已知直线y＝a分别与直线y＝2x－2和曲线y＝2ex＋x相交于点A，B，则线段AB长度的最小值为________．
??x≤0，
3、(2017苏州期末）已知函数f(x)＝?e－5，
??x＞0，
x
x2－4，
)若关于x的方程|f(x)|－ax－5＝0恰有三
个不同的实数解，则满足条件的所有实数a的取值集合为________．
4、(2017南京、盐城一模） 在平面直角坐标系xOy中，已知点P为函数y＝2lnx的图像与圆M：(x－3)2＋y2＝r2的公共点，且它们在点P处有公切线，若二次函数y＝f(x)的图像经过点O，P，M，则y＝f(x)的最大值为________．
sinx，
??x＜1，
5、(2017苏北四市期末） 已知函数f(x)＝?x－9x＋25x＋a，
??x≥1，
3
2
)若函数f(x)的图像与直线
y＝x有三个不同的公共点，则实数a的取值集合为________．
6、(2019苏锡常镇调研（一）） 已知函数f(x)＝x2＋|x－a|，g(x)＝(2a－1)x＋alnx，若函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图像恰好有两个不同的交点，则实数a的取值范围为________．
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【问题探究，变式训练】 题型一、利用导数研究函数的零点
知识点拨：研究函数的零点的问题，需要解决函数的单调性以及零点的支撑点这两个问题，其难点在于零点的支撑点的确定．一般地，确定零点的支撑点可有以下几种方法：一是以极值点作为支撑点，这是最为容易的一类；二是采用放放缩的方法，将函数转化为基本初等函数来加以解决；三是采用“形式化”的方式，即将函数分为几个部分，来分别找到这几个部分的零点，且它们有相同的变量法则，则取这些零点中的最大的或最小的作为支撑点．本题所采用的是放缩的方法来找支撑点．
例1、(2019通州、海门、启东期末）已知函数f(x)＝x2－alnx－1，a∈R.
(1) 当a＝2时，求函数f(x)的极值；
(2) 若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围． 【变式1】(2017南通一调）已知函数f(x)＝ax2－x－lnx，a∈R.
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(1) 当a＝时，求函数f(x)的最小值；
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(2) 若－1≤a≤0，证明：函数f(x)有且只有一个零点； (3) 若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．
a
【变式2】(2019南通、泰州、扬州一调）已知函数f(x)＝＋lnx(a∈R)．
x
(1) 讨论f(x)的单调性；
(2) 设f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)有两个不相同的零点x1，x2. ①求实数a的取值范围；
②证明：x1f′(x1)＋x2f′(x2)>2lna＋2.
【变式3】(2019苏州期末）已知函数f(x)＝ax3＋bx2－4a(a，b∈R)．
(1) 当a＝b＝1时，求f(x)的单调增区间；
b
(2) 当a≠0时，若函数f(x)恰有两个不同的零点，求的值；
a
(3) 当a＝0时，若f(x) 题型二 、利用导数研究函数恒成立问题 2 知识点拨：对于恒成立的问题，有两种处理方式；一是：分离参数的方法求解；二是运用函数的思想解决问题。 根据条件，将问题转化为不等式的恒成立问题处理，通过分类讨论，合理的代数变形，将问题进一步转化为熟悉的问题，结合图像，利用导数刻画函数的图像及性质进行求解. 例2、(2019苏锡常镇调研（二））已知e为自然对数的底数，函数f(x)?e?ax的图像恒 x23ax上方，则实数a的取值范围为 ． 2?－|x3－2x2＋x|， x<1， 【变式1】 （2018年南通一模）已知函数f(x)＝?若对于?t∈R， ?lnx， x≥1， 在直线y? f(t)≤kt恒成立，则实数k的取值范围是________． ?2x2－3x，x≤0， 【变式2】(2016常州期末） 已知函数f(x)＝?x2若不等式f(x)≥kx对x∈R e＋e，x>0.? 恒成立，则实数k的取值范围是________． 【变式2】(2019苏北三市期末）已知函数f(x)＝(x－a)lnx(a∈R)． (1) 若a＝1，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2) 若对于任意的正数x，f(x)≥0恒成立，求实数a的值； (3) 若函数f(x)存在两个极值点(极值点是函数取极值时对应的自变量的值)，求实数a的取值范围． 【变式3】(2018无锡期末）已知函数f(x)＝ex(3x－2)，g(x)＝a(x－2)，其中a，x∈R. (1) 求过点(2，0)和函数y＝f(x)图像相切的直线方程； (2) 若对任意x∈R，有f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围； (3) 若存在唯一的整数x0，使得f(x0) 【变式4】(2017无锡期末）已知函数f(x)＝x2＋mx＋1(m∈R)，g(x)＝ex. (1) 当x∈[0,2]时，F(x)＝f(x)－g(x)为单调增函数，求实数m的取值范围； f?x?15 (2) 若m∈(－1,0)，设函数G(x)＝，H(x)＝－x＋，求证：对任意x1，x2∈[1,1－ 44g?x?m]，G(x1)≤H(x2)恒成立． 【变式5】(2016苏州暑假测试）已知函数f(x)＝x－1－alnx(其中a为参数)． 3
考点07 函数与导数的综合运用(2)-2020年高考数学二轮优化提升专题训练(原卷版)
