数学中不等式的证明方法
王贵保
一、利用拉格朗日中值定理
1．拉格朗日中值定理：设f(x)满足：（1）在闭区间[a, b]上连续；（2）在开区间（a, b）内可导，则有一点??（a, b），使得
f(b)?f(a)?f?(?)
b?a 2．从上式可以看出，如果能确定了f?(?)介于某两个数m与M之间，则有如下形式的不等式： m≤
f(b)?f(a)≤M
b?af(b)?f(a)f(b)?f(a)或构造成为形式的不等式，可用该方法。
b?ab?ax因此，欲证形如
例1：证明，当x＞0时，有e?1＞x.
ex?e0ex?1证明：由原不等式，因为x＞0，可改写为＞1的形式，或改写为＞1
x?0xt的形式，这里f(t)?e，区间为[0, x]，于是可用拉格朗日中值定理证明。
t令f(t)?e，t?[0, x]，则f(t)满足拉格朗日中值定理的条件，于是存在??[0, x]
有
ex?e0? ＝e＞1
x?0 所以，有不等式e?1＞x.
x11＜ln(1?x)?lnx＜ （x＞0） 1?xxln(1?x)?lnx 证明：ln(1?x)?lnx＝这里b?1?x，a?x，于是可对f(t)?lnt(1?x)?x在［x, 1+x］上应用拉格朗日中值定理.
令f(t)?lnt t?[x,1?x] （x＞0），则f(t)在［x, 1+x］上满足中值定理的条
例2：证明不等式
件，于是有??[x,1?x]，即x＜?＜1?x，使得
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f(1?x)?f(x)1 ?f?(t)? （1）
t??(1?x)?x?111＜＜ （2） 1?x?x又因为x＜?＜1?x，知有 于是由（1）（2）可得
11＜f(1?x)?f(x)＜ 1?xx 二、利用函数的单调性
1．定义：设f(x)在（a, b）内有定义，任取x1,x2?(a,b)且x1＜x2，如有f(x1)≤
f(x2)则称f(x)在（a, b）单调增加，如有f(x1)≥f(x2)则称f(x)在（a, b）内单调减
少.
2．判定单调性的方法：如f(x)在（a, b）内的导数f?(x)＞0，则f(x)在（a, b）内单调增加；如导数f?(x)＜0，则f(x)在（a, b）内单调减少. 3．从单调性的定义可以看出，若构造不成调性进行判定证明.
例3：证明，x＞0时有e＞1+x.
证明：令f(x)?e?1?x，则f?(x)?e?1＞0所以f(x)单调增加，于是当x＞0时有f(x)＞f(0)＝0，即有f(x)＞0. 或 e＞1+x
xxxf(b)?f(a)的形式，则可利用函数的单
b?ax2(x?1) x?12(x?1) 证明：令f(x)?lnx?，则
x?112?(x?1)?(x?1)?14?? f?(x)?? 22xx(x?1)(x?1) 例4：证明x＞1时，有lnx＞
(x?1)2?4x(x?1)2 ? ， ?22x(x?1)x(x?1)由x＞1知 f?(x)＞0，所以f(x)单调增加，于是当x＞1时有f(x)＞f(1)＝0，即得： lnx＞
2(x?1) . x?1 三、利用闭区间上的连续函数可以取得最大值与最小值的方法
1．定理：若f(x)在闭区间[a, b]上取得最大值M与最小值m，于是有m≤f(x)≤M.
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2．因此，若在不等式的证明中，如有某一个变量受到限制时，可用该方法。
3．最大值与最小值的求法为：先对f(x)求导，得方程f?(x)＝0，求出其解，比如为
x1，x2，…，xn，然后计算f(x1)，f(x2)，…，f(xn)及f(a)与f(b)，从中取最大
者为最大值，最小者为最小值.
例5：证明，当0≤x≤1，p＞1时有不等式
12p?1≤x?(1?x)≤1
pppp 证明：这里因x有限制，x?[0,1]，可见，应求函数f(x)?x?(1?x)在[0,1]上
的最大值及最小值. f?(x)?pxp?1?p(1?x)p?1?0 ，可得 x?1?[0,1] . 2又 f()?()?(1?)? f(0)?1,f(1)?1 ， 于是有
1212p12p12p?1 ；
12p?1≤x?(1?x)≤1 .
pp 四、利用函数的凹凸性进行证明
1．定义：设函数f(x)在（a, b）内有定义，如x,y?(a,b)有f??x?y??≤2??1?x?y?1?f(x)?f(y)?则称函数f(x)在（a, b）内为凹函数，如有f??≥?f(x)?f(y)?，
22??2?x?x2???xn?则称函数f(x)在（a, b）内为凸函数；更加一般地，如有f?1?≤
n??x?x2???xn?1?f(x1)???f(xn)?则称f(x)在（a, b）内为凹函数，如有f??1?≥nn??1?f(x1)?f(x2)???f(xn)?，则称f(x)在（a, b）内为凸函数. 其中x1，x2，…，xn?n（a, b）.
2．因此，如在不等式的证明中出现了形如f??x?x2???xn??x?y??的形式，?或f?12n????可用函数凹凸性来证明.
3．函数凹凸性的判定：如f(x)在（a, b）内的二阶导数f??(x)＞0，则函数f(x)为凹函数，如f??(x)＜0，则函数f(x)为凸函数.
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隐函数求导的简单方法
