（2）过点D作DH丄y轴于点H，若DH=HC，求a的值和直线CD的解析式； （3）在第（2）小题的条件下，直线CD与x轴交于点E，过线段OB的中点N作NF丄x轴，并交直线CD于点F，则直线NF上是否存在点M，使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），直线l是抛物线的对称轴．1）求该抛物线的解析式．
2）若过点A（﹣1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式．
3）点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标．
2
9、如图，y关于x的二次函数y=﹣
（x+m）（x﹣3m）图象的顶
点为M，图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于D点．以AB
为直径作圆，圆心为C．定点E的坐标为（﹣3，0），连接ED．（m＞0） （1）写出A、B、D三点的坐标；
（2）当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线与圆的位置关系；
（3）当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图。
10、已知抛物线y?ax2?bx?c的对称轴为直线x?2，且与x轴交于A、B两点．与y轴交于点C．其中AI(1，0)，C(0，?3)． （1）（3分）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）． ①（4分）如图l．当△PBC面积与△ABC面积相等时．求点P的坐标；
②（5分）如图2．当∠PCB=∠BCA时，求直线CP的解析式。
答案与分析：
1、解：（1）由已知条件得，（2分）
解得b=﹣，c=﹣，∴此二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣；（1分）
（2）∵x﹣x﹣=0，∴x1=﹣1，x2=3，
∴B（﹣1，0），C（3，0），∴BC=4，（1分）
∵E点在x轴下方，且△EBC面积最大，∴E点是抛物线的顶点，其坐标为（1，﹣3），（1分） ∴△EBC的面积=×4×3=6．（1分）
92、（1）∵抛物线的顶点为（1，） ∴设抛物线的函数关系式为y＝a ( x2
2
9 2
－1)＋ 2
9
∵抛物线与y轴交于点C (0，4)， ∴a (0－1) 2＋＝4 解得a＝－
2
1 2
19
∴所求抛物线的函数关系式为y＝－( x－1) 2＋
22
17
（2）解：P1 (1，17)，P2 (1，－17)， P3 (1，8)，P4 (1，)，
8
19 2
（3）解：令－( x－1)＋＝0，解得x1＝－2，x1＝4
22
19 2
∴抛物线y＝－( x－1)＋与x轴的交点为A (－2，0) C (4，0)
22
过点F作FM⊥OB于点M， ∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴2
×OC＝EB
3
21
设E点坐标为 (x，0)，则EB＝4－x，MF＝ (4－x) ∴S＝S△BCE－S△BEF＝ EB·OC32
1112122－ EB·MF＝ EB(OC－MF)＝ (4－x)[4－ (4－x)]＝－x＋x＋22233381
＝－( x－1) 2＋3 33
1
∵a＝－＜0，∴S有最大值 当x＝1时，S最大值＝3 此时点E的坐标
3
为 (1，0) 3、（1）∵一次函数y＝－4x－4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，
4
∴A (－1，0) C (0，－4) 把A (－1，0) C (0，－4)代入y＝x2
3
＋bx＋c得 48???－b＋c＝0?b＝－48
3 ∴y＝x2－x－4 ∴?3 解得?
33???c＝－4?c＝－4
4841616
（2）∵y＝x2－x－4＝( x－1) 2－ ∴顶点为D（1，－）
33333
16
设直线DC交x轴于点E 由D（1，－）C (0，－4)
3
4
易求直线CD的解析式为y＝－x－4
3
MFEBEB＝ 又 ∵OC＝4，AB＝6，∴MF＝OCABABy E A O C D (第3
B x y P A O M B x N (第3C
116
易求E（－3，0），B（3，0） S△EDB＝×6×＝16
23
1
S△ECA＝×2×4＝4 S四边形ABDC＝S△EDB－S△ECA＝12
2
（3）抛物线的对称轴为x＝－1 做BC的垂直平分线交抛物线于E，交对称轴于点D3 易求AB的解析式为y＝－3x＋3
∵D3E是BC的垂直平分线 ∴D3E∥AB 设D3E的解析式为y＝－3x＋b
∵D3E交x轴于（－1，0）代入解析式得b＝－3, ∴y＝－3x－3 把x＝－1代入得y＝0 ∴D3 (－1，0), 过B做BH∥x轴，则BH＝111
在Rt△D1HB中，由勾股定理得D1H＝11 ∴D1（－1，11＋3）同理可求其它点的坐标。
可求交点坐标D1（－1，11＋3）, D2（－1，22）, D3 (－1，0), D4 (－1, 11－3)D5（－1，－22）
1?7?224、(1)?=??m??4???2m??=m2?4m?7=m2?4m?4?3=?m?2??3，∵
2?2?不管m为何实数，总有?m?2?≥0，∴?=?m?2??3＞0，∴无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点．
(2)∵ 抛物线的对称轴为直线x=3，∴m?3，
1512抛物线的解析式为y?x2?3x?=?x?3??2，顶点C坐标为（3，－2），
222?y?x?1,?x1?1?x2?7?解方程组?，解得或?，所以A的坐标为（1，0）、125?y?x?3x??y1?0?y2?6??2222B的坐标为（7，6），∵x?3时y=x－1=3－1=2，∴D的坐标为（3，2），设
抛物线的对称轴与x轴的交点为E，则E的坐标为（3，0），所以AE=BE=3，DE=CE=2，
① 假设抛物线上存在一点P使得四边形ACPD是正方形，则AP、
CD互相垂直平分且相等，于是P与点B重合，但AP=6，CD=4，AP≠CD，故抛物线上不存在一点P使得四边形ACPD是正方形． ② (Ⅰ)设直线CD向右平移n个单位（n＞0）可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则直线CD的解析式为x=3?n，直线CD与直线y=x－1交于点M（3?n，2?n），又∵D的坐标为（3，2），C坐标为（3，－2），∴D通过向下平移4个单位得到C． ∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形．
（ⅰ）当四边形CDMN是平行四边形，∴M向下平移4个单位得N，∴N坐标为（3?n，n?2），
又N在抛物线y?125152x?3x?上，∴n?2??3?n??3?3?n??， 2222解得n1?0（不合题意，舍去），n2?2，
（ⅱ）当四边形CDNM是平行四边形，∴M向上平移4个单位得N，∴N坐标
为（3?n，n?6），
15152又N在抛物线y?x2?3x?上，∴n?6??3?n??3?3?n??，
2222解得n1?1?17（不合题意，舍去），n2?1?17，
(Ⅱ) 设直线CD向左平移n个单位（n＞0）可使得C、D、M、N为顶点的四
边形是平行四边形，则直线CD的解析式为x=3?n，直线CD与直线y=x－1交于点M（3?n，2?n），又∵D的坐标为（3，2），C坐标为（3，－2），∴D通过向下平移4个单位得到C．
∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形．
（ⅰ）当四边形CDMN是平行四边形，∴M向下平移4个单位得N，∴N坐标为（3?n，?2?n），
15152又N在抛物线y?x2?3x?上，∴?2?n??3?n??3?3?n??，
2222解得n1?0（不合题意，舍去），n2??2（不合题意，舍去）， （ⅱ）当四边形CDNM是平行四边形，∴M向上平移4个单位得N，∴N坐标
为（3?n，6?n），
15152又N在抛物线y?x2?3x?上，∴6?n??3?n??3?3?n??，
2222解得n1??1?17，n2??1?17（不合题意，舍去），
综上所述，直线CD向右平移2或（1?17）个单位或向左平移（?1?17）个单位，可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
5、解：（1）OB＝3，OC＝8
（2）连接OD，交OC于点E
1
∵四边形OACD是菱形 ∴AD⊥OC，OE＝EC＝ ×8＝4 2
∴BE＝4－3＝1 又∵∠BAC＝90°，
y AECE∴△ACE∽△BAE ∴＝ BEAE∴AE2＝BE·CE＝1×4
∴AE＝2 ∴点A的坐标为 (4，2) 把点A的坐标 (4，2)代入抛物线y＝mx2－11mx＋24m， OA B E D C x
y O l:xA M B E N C x
函数知识点总结与经典例题与解析
