y 图像 O x y O x ①x的取值范围是x?0， ①x的取值范围是x?0， y的取值范围是y?0； y的取值范围是y?0； ②当k>0时，函数图像的两个分②当k<0时，函数图像的两个分支分别 支分别 在第二、四象限。在每个象限内，y 性质 在第一、三象限。在每个象限随x 的增大而增大。 内，y 随x 的增大而减小。 4、反比例函数解析式的确定 k中，只有一个x待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。
5、反比例函数中反比例系数的几何意义
k若过反比例函数y?(k?0)图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，
xk则所得的矩形PMON的面积S=PM?PN=y?x?xy。 ?y?,?xy?k,S?k。
x知识点六、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念
确定解析式的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y?一般地，如果y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)，特别注意a不为零，那么y叫做x 的二次函数。
y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
b对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 2a抛物线的主要特征（也叫抛物线的三要素）： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法
五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，
二次函数的图像是一条关于x??
并用虚线画出对称轴
（2）求抛物线y?ax2?bx?c与坐标轴的交点：
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 知识点七、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：y?ax2的性质：
开口方向 顶点坐标 对称轴 a的符号 性质 x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，a?0 向上 ?0，0? y轴 y随x的增大而减小；x?0时，y有最小值0． x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，a?0 向下 ?0，0? y轴 y随x的增大而增大；x?0时，y有最大值0． a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. y?ax2?c的性质：
二次函数y?ax2?c的图像可由y?ax2的图像上下平移得到（平移规律：上加 下减）。
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，a?0 向上 ?0，c? y轴 y随x的增大而减小；x?0时，y有最小值c． x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，a?0 向下 ?0，c? y轴 y随x的增大而增大；x?0时，y有最大值c．
3. y?a?x?h?的性质：
二次函数y?a?x?h?的图像可由y?ax2的图像左右平移得到（平移规律：左加 右减）。
a的符号 22开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，a?0 向上 ?h，0? X=h y随x的增大而减小；x?h时，y有最小值0． x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，a?0 向下 ?h，0? X=h y随x的增大而增大；x?h时，y有最大值0． 4. y?a?x?h??k的性质：
a的符号 2开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，a?0 向上 ?h，k? X=h y随x的增大而减小；x?h时，y有最小值k． x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，a?0 向下 ?h，k? X=h y随x的增大而增大；x?h时，y有最大值k． 知识点八、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：y?ax2?bx?c（a，b，c为常数，a?0）； 2. 顶点式：y?a(x?h)2?k（a，h，k为常数，a?0）；
3. 两点式：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次
函数都可以写成两点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2?4ac?0时，抛物线的解析式才可以用两点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 知识点九、二次函数解析式的确定
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求
二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 知识点十、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小
4ac?b2b值），即当x??时，y最值?。
4a2a如果自变量的取值范围是x1?x?x2，那么，首先要看?b是否在自变量取2a4ac?b2b值范围x1?x?x2内，若在此范围内，则当x=?时，y最值?；若不在
4a2a此范围内，则需要考虑函数在x1?x?x2范围内的增减性，如果在此范围内，y
2?bx2?c，当x?x1时，随x的增大而增大，则当x?x2时，y最大?ax2y最小?ax12?bx1?c；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x?x1时，
2y最大?ax12?bx1?c，当x?x2时，y最小?ax2?bx2?c。
知识点十一、二次函数的性质 1、二次函数的性质 函数 a>0 y 图 像 0 x 性（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸； 质 二次函数 y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0) a<0 y 0 x （1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；
（2）对称轴是x=?b， 2a（2）对称轴是x=?b， 2a4ac?b2b顶点坐标是（?，）； 4a2a4ac?b2b顶点坐标是（?，）； 4a2abb时， （3）在对称轴的左侧，即当x?时，y随x的增大而增大， b2a即当x>?时，y随x的增大而 简记左减右增； 2ab减小，简记左增右减； （4）抛物线有最低点，当x=?时，y有b2a（4）抛物线有最高点，当x=?时， 2a4ac?b2最小值，y最小值? 4ac?b24ay有最大值，y最大值? 4a（3）在对称轴的左侧，即当x
图象与x轴的交点个数：
0?，B?x2，0?(x1?x2)，① 当??b2?4ac?0时，图象与x轴交于两点A?x1，其中的x1，x2是一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?的两根．这两点间的距
b2?4ac离AB?x2?x1? a0?，B?x2，0?，推导过程：若抛物线y?ax2?bx?c与x轴两交点为A?x1，由于x1、x2是方程ax2?bx?c?0的两个根，故
bcx1?x2??,x1?x2?aaAB?x1?x2??x1?x2?2b2?4ac??b?4c2??x1?x2??4x1x2???????aaa?a?2② 当??0时，图象与x轴只有一个交点；
③ 当??0时，图象与x轴没有交点.
1' 当a?0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有
y?0；
图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y?0． 2'当a?0时，
函数知识点总结与经典例题与解析
