第十九章 一次函数
19.2 一次函数 19.3 课题学习 选择方案
1．正比例函数
（1）正比例函数的定义
一般地，形如__________（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数，一般情况下，正比例函数自变量的取值范围是全体实数． （2）正比例函数的图象和性质
正比例函数y=kx（k≠0）的图象是一条经过原点（0，0）的直线，我们称它为直线y=kx（k≠0）．正比例函数图象的位置和函数值y的增减性完全由比例系数k的符号决定． ①当k>0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而__________； ②当k<0时，图象经过第__________象限，y随x的增大而减小．
2．一次函数
（1）一次函数的定义
一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数． （2）一次函数的图象和性质 对于y=kx+b（k≠0 ，b≠0）．
当k>0，b>0，y=kx+b的图象在第__________象限，y随x的增大而增大； 当k>0，b<0，y=kx+b的图象在第一、三、四象限，y随x的增大而增大； 当k<0，b>0，y=kx+b的图象在第一、二、四象限，y随x的增大而__________； 当k<0，b<0，y=kx+b的图象在第二、三、四象限，y随x的增大而减小．
3．一次函数的平移
（1）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是过点（0，b）且和直线y=kx重合或平行的一条直线． （2）直线y=kx+b可以看作由直线y=kx向上或向下平移__________个单位长度得到．
（3）一次函数图象的平移遵照“左加右减，上加下减”的原则进行，要注意平移后k值不变，只有b发生变化．（4）由两个函数解析式中的k的值相等，可判断两个函数的图象平行，即其中一条直线是由另一条直线平移得到的．
4．用待定系数法确定一次函数的解析式
求一次函数y=kx+b（k≠0）的解析式，关键是求出k，b的值，一般可根据条件列出关于k，b的二元一次方程组，求出k，b的值，从而求出函数的解析式．这种求函数解析式的方法叫做__________．
5．一次函数与方程、不等式的关系
（1）一次函数与一元一次方程的关系：任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与__________轴的交点的横坐标的值．
（2）①任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b>0或ax+b<0（a≠0）的形式，所以解一 元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围. ②一次函数y=ax+b（a≠0）与一元一次不等式ax+b>0（或ax+b<0）的关系：
ax+b>0的解集?y=ax+b中，y>0时x的取值范围，即直线y=ax+b在x轴上方部分图象对应的x的取值范围．
ax+b<0的解集?y=ax+b中，y<0时x的取值范围，即直线y=ax+b在x轴下方部分图象对应的x的取值范围．
（3）用图象法求二元一次方程组的近似解的一般方法：①先把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式：y=k1x+b1和y=k2x+b2；②建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象；③写出这两条直 线的交点的横、纵坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标为x，纵坐标为y．
6．运用一次函数选择最佳方案
所谓最佳方案是指在某一问题中，符合条件的方案有多种，要求你利用数学知识经过分析、猜想、判断筛选出最佳方案，此类题目往往要求所设计的问题中出现路程最短、运费最少、效率最高等词语，解题时常常与函数、不等式、几何知识联系在一起．解答的关键是要学会运用数学知识去观察、分析、概括所给的实际问题，将其转化为函数模型，运用一次函数选择最佳方案的步骤：
（1）从数学的角度分析实际问题，建立函数模型（往往有两个或两个以上的模型）； （2）列出不等式（方程)，求出自变量在取不同值时对应的函数值的大小关系； （3）结合实际需求，选择最佳方案．
参考答案：
1．y=kx 增大 二、四 2．一、二、三 减小 3．|b| 4．待定系数法 5．x
一、正比例函数的定义
正比例函数必须符合下列两个条件：一是两个变量的次数都是1；二是比例系数k≠0．
二、正比例函数的图象和性质
正比例函数y=kx（k≠0）中，|k|越大，直线y=kx越靠近y轴，即直线与x轴正半轴的夹角越大；|k|越小，直线y=kx越靠近x轴，即直线与x轴正半轴的夹角越小．
三、一次函数的定义
判断函数是一次函数的方法
先看函数解析式能否通过变形转化为y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的形式，若能，则是一次函数，当b=0时，该函数是正比例函数，即先化简后判断．
四、一次函数的图象和性质
直线y=kx+b的位置是由k和b的符号决定的．k决定直线的倾斜程度，|k|越大，直线越陡，|k|越小，直线越缓；b决定直线与y轴交点的位置，b>0，直线交y轴上方，b<0，直线交y轴下方．若两直线的k相同，则两直线互相平行．
五、一次函数的平移
一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是过点（0，b）且和直线y=kx重合或平行的一条直线． 直线y=kx+b可以看作由直线y=kx向上或向下平移|b|个单位长度得到．
六、用待定系数法确定一次函数解析式
运用待定系数法求一次函数解析式的步骤： （1）设：设出一次函数的解析式y=kx+b（k≠0）；
（2）代：把已知条件（自变量与函数的对应值）代人解析式得到关于k，b的二元一次方程组； （3）解：解方程组，求出k，b的值；
（4）回代：将求出的k，b的值回代到所设的函数解析式，即可得到所求的一次函数解析式．
七、一次函数与一元一次方程的关系
方程ax+b=0（a≠0）的解?函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时x的值；
方程ax+b=0（a≠0）的解?函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．
八、一次函数与一元一次不等式的关系
一元一次不等式的图象解法就是把解不等式转化为比较直线上点的位置的高低，能直观地看到怎样用图形来表示不等式的解集，体现了数形结合和转化思想的应用．
九、一次函数与二元一次方程（组）的关系
由于所画图象有误差，所以用医象法求出的方程组的解多数情况下是近似解，可以通过检验知道它是否正确，这种解法很直观，对理解数形结合很有帮助．
十、运用一次函数选择最佳方案
1．在实际生活中，常见的选择方案类型有利润问题、效益问题、分配问题等．
2．选择最佳方案实际上是在比较的基础上完成的，它往往是将全部方案都列出来，然后根据题意选择一个最优的方案．
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