中考数学总复习 题型专项(八)二次函数与几何图形综合题 类型5 探究角度数量关系的存在性问题试题

类型5 探究角度数量关系的存在性问题

2

1．(2015·南宁)在平面直角坐标系中，已知A，B是抛物线y＝ax(a>0)上两个不同的点，其中A在第二象限，B在第一象限．

(1)如图1所示，当直线AB与x轴平行，∠AOB＝90°，且AB＝2时，求此抛物线的解析式和A，B两点的横坐标的乘积；

(2)如图2所示，在(1)所求得的抛物线上，当直线AB与x轴不平行，∠AOB仍为90°时，A，B两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由；

(3)在(2)的条件下，如图3，若直线y＝－2x－2分别交直线AB，y轴于点P，C，直线AB交y轴于点D，且∠BPC＝∠OCP，求点P的坐标．

解：(1)设直线AB与y轴交于点E，

∵AB与x轴平行，根据抛物线的对称性有AE＝BE＝1. 1

∵∠AOB＝90°，∴OE＝AB＝1.

2

∴A(－1，1)，B(1，1)．

2

把x＝1，y＝1代入y＝ax，得a＝1，

2

∴抛物线的解析式为y＝x，A，B两点的横坐标的乘积为xA·xB＝－1. (2)xA·xB＝－1为常数，过点A作AM⊥x轴于点M，BN⊥x轴于点N， ∴∠AMO＝∠BNO＝90°.

∴∠MAO＋∠AOM＝∠AOM＋∠BON＝90°. ∴∠MAO＝∠BON.∴△AMO∽△ONB. ∴

AMOM

＝，即OM·ON＝AM·BN. ONBN

设A(xA，yA)，B(xB，yB)，

2

∵A(xA，yA)，B(xB，yB)在y＝x图象上，

2222

∴yA＝xA，yB＝xB.∴－xA·xB＝yA·yB＝xA·xB. ∴xA·xB＝－1为常数．

22

(3)设A(m，m)，B(n，n)，由(2)可知mn＝－1.

??y＝kx＋b，2

设直线AB的解析式为y＝kx＋b，联立?得x－kx－b＝0. 2

?y＝x，?

∵m，n是方程的两个根，∴mn＝－b.∴b＝1.

∵直线AB与y轴交于点D，则OD＝1.

易知C(0，－2)，OC＝2，∴CD＝OC＋OD＝3. ∵∠BPC＝∠OCP，∴PD＝CD＝3.

设P(a，－2a－2)，过点P作PG⊥y轴于点G，则PG＝－a，GD＝OG－OD＝－2a－3.

222

在Rt△PDG中，由勾股定理得：PG＋GD＝PD，

122222

即(－a)＋(－2a－3)＝3，整理得5a＋12a＝0，解得a＝0(舍去)或a＝－.

51214

当a＝－时，－2a－2＝，

55

1214∴P(－，)．

55

422

2．(2016·河南)如图1，直线y＝－x＋n交x轴于点A，交y轴于点C(0，4)．抛物线y＝x＋bx＋c经过点A，

33交y轴于点B(0，－2)．点P为抛物线上一个动点，经过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，

设点P的横坐标为m. (1)求抛物线的解析式；

(2)当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；

(3)如图2，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′＝∠OAC，当点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．

解：(1)由直线y＝－4

3x＋n过点C(0，4)，得n＝4，

∴y＝－4

3

x＋4.

当y＝0时，0＝－4

3x＋4，解得x＝3，∴A(3，0)．

∵抛物线y＝23x2

＋bx＋c经过点A(3，0)，B(0，－2)．

?∴??0＝23×32＋3b＋c，?∴?b4??

＝－3，

?－2＝c.??c＝－2.∴抛物线的解析式为y＝23x2－4

3x－2.

(2)∵点P的横坐标为m，

∴P(m，23m2－4

3m－2)，D(m，－2)．

若△BDP为等腰直角三角形，则PD＝BD. ①当点P在直线BD上方时，PD＝224

3m－3m.

(ⅰ)若点P在y轴左侧，则m<0，BD＝－m. ∴223m－4

3

m＝－m， ∴m)，m1

1＝0(舍去2＝2

(舍去)．

(ⅱ)若点P在y轴右侧，则m>0，BD＝m. ∴23m2－43m＝m，∴m)，m73＝0(舍去4＝2

. ②当点P在直线BD下方时，m>0，BD＝m，PD＝－2243m＋3m.

∴－23m2＋41

3m＝m，∴m5＝0(舍去)，m6＝2

.

71

综上，m＝或.

22

71

即当△BDP为等腰直角三角形时，PD的长为或.

22(3)P1(－5，

45＋4－45＋4

)，P2(5，)， 33

2511

P3(，)． 832

【提示】∵∠PBP′＝∠OAC，OA＝3，OC＝4， 43

∴AC＝5，∴sin∠PBP′＝，cos∠PBP′＝.

55

①当点P′落在x轴上时，过点D′作D′N⊥x轴，垂足为N，交BD于点M，∠DBD′＝∠ND′P′＝∠PBP′.

32244

如图1，ND′－MD′＝2，即(m－m)－(－m)＝2.

533532244

如图2，ND′＋MD′＝2，即(m－m)＋m＝2.

5335∴P1(－5，

45＋4－45＋4

)，P2(5，)； 33

图1 图2 图3

②当点P′落在y轴上时，如图3，过点D′作D′M⊥x轴，交BD于点M，过点P′作P′N⊥y轴，交MD′的延长

线于点N，∠DBD′＝∠ND′P′＝∠PBP′. 42243

∵P′N＝BM，即(m－m)＝m.

53352511

∴P3(，)．

832