由①得 f(1)≥1，由②得 f(1)≤1
∴f(1)=1，即工+了+以=1，又ab+c=0
111 b= c= 424121112
∴f(x)=x?x?=(x+1) …………5分
424412
由f(x+t)=(x+t+1)≤x 在x∈[1,m]上恒成立
4∴a=
∴4[f(x+t)-x]=x+2(t-1)x+(t+1)≤0当x∈[1,m]时，恒成立
2
令 x=1有t+4t≤0?4≤t≤0
22
令x=m有t+2(m+1)t+(m-1)≤0当t∈[-4,0]时，恒有解 …………10分
2
令t= 4得，m10m+9≤0?1≤m≤9 …………15分 即当t= 4时，任取x∈[1,9]恒有
f(x-4)-x=
2
2
121(x10x+9)=(x1)(x9)≤0 44∴ mmin=9 …………20分
二○○二年全国高中数学联合竞赛加试试题
参考答案及评分标准
说明：
1． 评阅试卷时，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分；
2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，评卷时可参考本评分标准适当划
分档次评分，可以10分为一个档次，不要再增加其它中间档次。
一、（本题满分50分）
如图，在⊿ABC中，∠A=60°，AB>AC，点O是外心，两条高BE、CF交于H点，点M、N分别在线段BH、HF上，且满足BM=CN，求
MH?NH的值。
OHF N O K M A 解：在BE上取BK=CH，连接OB、OC、OK，
由三角形外心的性质知 ∠BOC=2∠A=120°
由三角形垂心的性质知 ∠BHC=180°-∠A=120° ∴∠BOC=∠BHC
∴B、C、HO四点共圆 …………20分 ∴∠OBH=∠OCH OB=OC BK=CH
H E B C
∴⊿BOK≌⊿COH …………30分 ∵BOK=∠BOC=120°，∠OKH=∠OHK=30° 观察⊿OKH
KHOH??KH=3OH …………40分
sin120?sin30? 又∵BM=CN，BK=CH， ∴KM=NH
∴MH+NH=MH+KM=KH=3OH ∴
MH?NH=3 …………50分
OH二、（本题满分50分）
32
实数a,b,c和正数使得f(x)=x+ax+bx+c有三个实根x1,x2,x3，且满足
① x2x1=,
② x3>
1(x1+x2) 2求
2a3?27c?9ab?3?33 22
2
解：∵ f(x)=f(x)f(x3)=(xx3)[x+(a+x3)x+x3+ax3+b]
22
∴ x1,x2是方程x+(a+x3)x+x3+ax3+b的两个根
∵ x2x1=
22
∴ (a+x)4(x3+ax3+b)=??3x32+2ax3+2+4ba2=0
1(x1+x2) 2122 ∴ x3?[?a?4a?12b?3?] (Ⅰ)
3∵x3>
且 4a12b-3≥0 (Ⅱ) …………10分
32
∵ f(x)=x+ax+bx+c
2
2
a3a2a231?b)(x?)?a?c?ab …………20分 =(x?)?(333273 ∵ f(x3)=0
123a3a2aa?c??(x3?)?(?b)(x3?) (Ⅲ) ∴ ab?327333a123a2?222 由(Ⅰ)得 x3?? 4a?12b?3?]??b?33334?21a22323?b，由(Ⅱ) 和(Ⅲ)可知p≥且ab? 记p=a?c??433279 令 y=
p??24(p??2)
p??24，则y≥0且ab?1323233a?c??y(y2??2) …………30分 2794
3?2?23?2?33?2?3y?y?()?? ∵ y?=y?4442423 =(y? ≥0
?2)2(y??)
123332a3?27c?9ab33a?c????? ∴ab? …………40分 3327182? ∴取a=23,b=2,c=0,=2，则f(x)=x+ax+bx+c有根?3?1，?3?1，0
3
2
显然假设条件成立，且
2a3?27c?9ab?3133?(483?363)? 82的最大值是
综上所述
2a3?27c?9ab?333 …………50分 2三、（本题满分50分） 在世界杯足球赛前，F国教练为了考察A1,A2,…,A7这七名，准备让他们在三场训练比赛(每场90分钟)都上场，假设在比赛的任何时刻，这些中有且仅有一人在场上，并且A1,A2,A3,A4每人上场的总时间(以分钟为单位)均被13整除，如果每场换人次数不限，那么按每名队员上场的总时间计算，共有多少种不同的情况。
解：设第i名队员上场的时间为xi分钟(i=1,2,3,…,7)，问题即求不定方程
x1+x2+…+x7=270 ①
在条件7|xi (1≤i≤4)且13|xj (5≤j≤7)下的正整数解的级数。 若(x1,x2,…,x7)是满足条件①的一组正整数解，则应有
?xi?14i=7m
?xj?57j=13n m,n∈N
∴m,n是不定方程
7m+13n=270 ② 在条件m≥4且n≥3下的一组正整数解。 …………10分 ∵ 7(m-4)+13(n-3)=203
令 m′=m 4 n′=n 3 有
7m′+13n′=270 ③ ∴ 求②满足条件m≥4且n≥3的正整数解等价于求③的非负整数解。 ∵易观察到 7·2+13·(-1)=1
∴ 7·406+13·(-203)=203 即 m0=406 n0= 203是③的整数解 ∴ ③的整数通解为
m′=406 13k n′= 203+7k k∈Z
令 m′≥0 n′≥0,解得 29≤k≤31 …………20分 取k=29,30,31得到③满足条件的三组非负整数解： ??m??29?m??16?m??3 ? ?
????n?0?n?7?n?14
从而得到②满足条件的三组正整数解： ??m?7?m?33?m?20 ? ? …………30分
?n?17?n?3?n?10 1)在m=33,n=3时，显然x5=x6=x7=13仅有一种可能，
4?13 又设xi=7yi (i=1,2,3,4)，于是由不定方程y1+y2+y3+y4=33有C33?1?C32?4960组正整数解。
∴此时①有满足条件的C32=4960组正整数解。
2)在m=20,n=10时，设xi=7yi (i=1,2,3,4)，xj=13yj (j=5,6,7)
由y1+y2+y3+y4=20，有C19组正整数解；以及y5+y6+y7=10，有C9组正整数解。
32 ∴此时①有满足条件的C19?C9=34884组正整数解。
323
3) 在m=7,n=17时，设xi=7yi (i=1,2,3,4)，xj=13yj (j=5,6,7)
由y1+y2+y3+y4=7，有C6组正整数解；以及y5+y6+y7=17，有C16组正整数解。…………40分 综上所述，①满足条件的正整数解的组数为
33332 C32?C19?C9?C6?C16=4960+34884+2400=42244 …………50分
32
2002年全国高中数学联赛试题及答案
