折叠剪切问题
一、折叠后求度数
【1】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（ ）
0000
A．60 B．75 C．90 D．95
答案：C
【2】如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′
等于（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65° 答案：A
【3】 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图
（2）所示的正五边形ＡＢＣＤＥ，其中∠ＢＡＣ＝ 度.
A
B E
C D 答案：36°
图
图 二、折叠后求面积 第3题图
【4】如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以
DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10
答案：C
【5】如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼
成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是
A．2 B．4 C．8 D．10
答案：B
【6】如图a，ABCD是一矩形纸片，AB＝6cm，AD＝8cm，E是AD上一点，且AE＝6cm。操作：
（1）将AB向AE折过去，使AB与AE重合，得折痕AF，如图b；（2）将△AFB以BF为折痕向右折过去，得图c。则△GFC的面积是（ ）
A E D A B D B D A
G
B
图F
C
F 图
C
1 / 7 F
图C
第6题图
A.1cm2 B.2 cm2 C.3 cm2 D.4 cm2答案：B
三、折叠后求长度
【7】如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED?BC，则CE的长是（ ） （A）103?15 （B）10?53 （C）53?5 （D）20?103
A E F B C
答案：D D 四、折叠后得图形 第7题
【8】将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（ ）
第8题图
A．矩形 B．三角形 C．梯形 D．菱形
答案：D
【9】在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是（ ）
A. B. C. D.
第9题图
答案：D
【10】小强拿了张正方形的纸如图（1），沿虚线对折一次如图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是( )
答案：D
第10题图 【11】将一圆形纸片对折后再对折，得到图1，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开
后的平面图形是（ ）
图3图
2 / 7 ABCD第12题图
答案：C
【12】如图1所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是（ ）
第14答案：C
【13】 如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，AD⊥BC，AD=BC. 将此三角形纸片沿AD剪开，得到
两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不全等的四边形的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 答案：D
五、折叠后得结论
【14】亲爱的同学们，在我们的生活中处处有数学的身影.请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论：“三角形的三个内角和等于_______°.”
（2）
（1） 第15题图
第17题图 答案：180
【15】从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形(如图1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2)，上述操作所能验证的等式是（ ）
A.a2–b2 =(a+b)(a-b) Ｂ.(a–b)2 = a2–2ab+b2
Ｃ.(a+b)2 = a2 +2ab+ b2 Ｄ.a2 + ab = a (a+b) 答案：A
【16】如图，一张矩形报纸ABCD的长AB＝a cm，宽BC＝b cm，E、F分别是AB、CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a∶b等于（ ）． A．2:1 B．1:2 C．3:1 D．1:3
DMCEGFBA第19
六、折叠和剪切的应用
题图
【17】将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）.
3 / 7
答案：A
（1）如果M为CD边的中点，求证：DE∶DM∶EM=3∶4∶5；
（2）如果M为CD边上的任意一点，设AB=2a，问△CMG的周长是否与点M的位置有关？若有关，请把△CMG的周长用含DM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由.
315AD，DM?AD，EM?AD后证之. 828（2）注意到△DEM∽△CMG，求出△CMG的周长等于4a，从而它与点M在CD边上的位置无关.
【18】同学们肯定天天阅读报纸吧?我国的报纸一般都有一个共同的特征:每次对折后,所得的长方形和原长方形相似,问这些报纸的长和宽的比值是多少?
答案：（1）先求出DE=答案：2∶1.
【19】用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD沿着直线CM剪成两部分,其中M为AD的中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中的Rt△BCE就是拼成的一个图形. E
M D A M A
B B C C
图图图图
第21题图
(1)用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt△BCE外,还可以拼成一些四边形.请你试一试,把拼好的四边形分别画在图3、图4的虚框内.
(2)若利用这两部分纸片拼成的Rt△BCE是等腰直角三角形,设原矩形纸片中的边AB和BC的长分别为a
厘米、b厘米,且a、b恰好是关于x的方程x?(m?1)x?m?1?0的两个实数根,试求出原矩形纸片的面积.
答案：（1）如图
E
B 图3
C
第21题答案图
B 图4
C
A
M
E A M
2（2）由题可知AB＝CD＝AE，又BC＝BE＝AB＋AE
∴BC＝2AB， 即b?2a
由题意知 a,2a是方程x2?(m?1)x?m?1?0的两根 ∴??a?2a?m?1
a?2a?m?1?1 2131，a?2a???0，知m??不符合题意，舍去. 222消去a，得 2m2?13m?7?0 解得 m?7或m??经检验：由于当m??m?7符合题意.
∴S矩形?ab?m?1?8
答：原矩形纸片的面积为8cm2.
【20】电脑CPU蕊片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄型圆片，叫“晶圆片”。现为了生产某种CPU蕊片，需要长、宽都是1cm 的正方形小硅片若干。如果晶圆片的直径为
4 / 7
10.05cm。问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张？请说明你的方法和理由。（不计切割损耗）
EABFHDCG
答案：可以切割出66个小正方形。 方法一：
（1）我们把10个小正方形排成一排，看成一个长条形的矩形，这个矩形刚好能放入直径为10.05cm 的圆内，如图中矩形ABCD。
∵AB＝1 BC＝10
∴对角线AC＝100＋1＝101＜10.05 （2）我们在矩形ABCD的上方和下方可以分别放入9个小正方形。
∵新加入的两排小正方形连同ABCD的一部分可看成矩形EFGH，矩形EFGH的长为9，高为3，对
2222角线EG?9?3?81?9?90＜10.05。但是新加入的这两排小正方形不能是每排10个，因为：
22102?32?100?9?109＞10.052
222（3）同理：8?5?64?25?89＜10.05
9?5?81?25?106＞10.05
∴可以在矩形EFGH的上面和下面分别再排下8个小正方形，那么现在小正方形已有了5层。 （4）再在原来的基础上，上下再加一层，共7层，新矩形的高可以看成是7，那么新加入的这两排，每排都可以是7个但不能是8个。
222∵7?7?49?49?98＜10.05
22282?72?64?49?113＞10.052
（5）在7层的基础上，上下再加入一层，新矩形的高可以看成是9，这两层，每排可以是4个但不能是5个。
222∵4?9?16?81?97＜10.05
52?92?25?81?106＞10.052
现在总共排了9层，高度达到了9，上下各剩下约0.5cm 的空间，因为矩形ABCD的位置不能调整，故再也放不下一个小正方形了。
∴10＋2×9＋2×8＋2×7＋2×4＝66（个） 方法二：
学生也可能按下面的方法排列，只要说理清楚，评分标准参考方法一。 可以按9个正方形排成一排，叠4层，先放入圆内，然后： （1）上下再加一层，每层8个，现在共有6层。
（2）在前面的基础上，上下各加6个，现在共有8层。 （3）最后上下还可加一层，但每层只能是一个，共10层。 这样共有：4×9＋2×8＋2×6＋2×1＝66（个）
【21】在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱
形EFGH（见方案一），张丰同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC，∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF（见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？ H F D A D A
E G 5 / 7
B C F （方案一）
B C E
（方案二）
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