一、 函数、极限、持续
（一）函数
1、
分段函数
讨论y=f（x）在分段点处的极限、持续、导数等问题时，必需别离先讨论左、右极限，左、右持续性和左、右导数，需要强调：分段函数不是初等函数，不能用初等函数在概念域内皆持续那个定理。
Eg：f(x)=|x|; 和符号函数f(x)=sgn x; 两个都是分段函数。 2、
隐函数
由方程F（x，y）=0肯定y=y（x）称为隐函数，有些隐函数能够化为显函数，（不必然一个单值函数），有的不能够化。
3、 反函数
只讨论单值函数。
4、 区分大体初等函数和初等函数
(1) 大体初等函数：常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函
数；他们的概念、性质、图像意义深远，如利用图像求极限 (2) 初等函数：由常数和大体初等函数通过有限次的四则运算和有限次的函数复合步
骤所组成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。 Eg：分段函数不是初等函数。
五、复合函数
六、考研数学中常出现的非初等函数 (1)用极限表示的函数
<1>y?limfn(x)
n??<2>y?limf(t,x)
t?x(2)用变上、下限积分表示的函数 <1>y?<2>
?x0f(x)dt,其中f(t)连续，则dy?f(x) dxdy???f[?2(x)]??(x)?f[?(x)]?(x)112dxy???2(x)?1(x)f(t)dt,其中?（1x），?（2x）可导，f(t)连续，则7、函数的几种性质
（1） 有界性； （2）奇偶性；
（2） 单调性：区分（严格）单调增加（?x1?x2?定义域X，f(x1)?f(x2)），单
调不减（…f(x1)?f(x2)）；单调减少，单调不增。
（3） 周期性;f(x?T)?f(x)，一般把最小正周期称为周期。
例题：一、函数的概念域 （1）求y?x?x?1的概念域
ln|x?5| 概念域为 ?0??[1,4)?(4,5)?(5,6)?(6,??)
（2）设f（x）的概念域为[-a，a]（a>0）,求f(x?1)的概念域。
2解：要求?a?x2?1?a,则1?a?x2?1?a当a?1时，?1?a?0,?x2?1?a，则|x|?1?a当0?a?1时，1?a?0,?1?a?|x|?1?a也即1-a?x?1?a或-1?a?x?-1-a（重点是掌握这种方式及解题速度） 二、函数的值域
（1）有时直接不好求时，运用反函数的概念域即是原函数的值域！ （2）分段函数求值域和反函数时，要一段一段地考虑去求。 3.求复合函数有关表达式（第一、二种较多，第三种较少） （1）已知f（x）和g（x），求f[g(x)]
eg：设f(x)?x1?x2,求f[f(...f(x))]?fn(x)f(x)1?f2(x)?x1?2x2x解：f2(x)?f[f(x)]?xx2x若fk?x??,则fk?1(x)??/1??21?kx21?kx21?kx21?(k?1)x21?fk(x)fk(x)根据数学归纳法可知，对正整数n，fn?x??x1?nx2。(2)已知g(x)和f[g(x)]，求f（x）---------------------------------------换元法（设中间变量t）
eg:已知f?(ex)?xe?x，且f(1)?0，求f(x)解：令ex?t,x?lnt,因此f?(ex)?f?(t)?xlnt，t lnt12x12f(x)?f(1)??dt?lnt|1?lnx1t221?f(1)?0,?f(x)?ln2x????先求导函数，再运用积分，求出原函数。2(3)已知f(x)和f[g(x)]，求g(x)
eg:已知f(x)?ln(x?1),f[g(x)]?x,求g(x)解:g(x)?f?1[x]实际上为求反函数问题f[g(x)]?ln[1?g(x)]?x?g(x)?ex?1
（4）有关复合函数方程---------------------------------换元法的灵活应用 4、有关四种性质
（1）设F?(x)?f(x),若f(x)为奇函数，则F(x)为偶函数。 证明：F(x)?F(0)??f(t)dt,f为奇函数
0xF(?x)?F(0)???x0f(t)dt?F(0)??f(?u)d(?u)?F(0)??f(u)du?F(x)00xx
F(x)为偶函数。----------运用牛顿-莱布尼茨公式和运算过程中换元。（2）求定积分时，函数奇偶性的应用：
必须记住的公式：?f(x)dx??aa0--------，当f(x)为奇函数2?f(x)dx，当f(x)为偶函数0a
（二）极限
一、性质：
(1)唯一性 ： 设limf(x)?A,limf(x)?B,则A?B (2)不等式性质：设limf(x)?A,limg(x)?B
若x变化一定以后，总有f(x)?g(x),则A?Bf(x)?g(x) 反之，A?B,则x变化一定以后，有(注：当g(x)?0,B?0情形也称为极限的保号性) 若变量f(x)?0,只能保证极限值?0，而不能保证恒?0。(如1/n的极限) (3) 局部有界性：设limf(x)?A，则x当变化一定以后，f(x)是有界的。 (4) 运算法则：设limf(x)?A,limg(x)?B
则(1)lim[f(x)?g(x)]?A?B(2)lim[f(x)?g(x)]?A?B (3)lim[f(x)?g(x)]?A?B
f(x)A(4)lim?(B?0)g(x)B(5)lim[f(x)]g(x)?AB(A?0)二、无穷小与大
(1)若limf(x)?0，则称f(x)为无穷小。11 （注：无穷小与x的变化过程有关，lim?0，当x??时，为无穷小，x??xx1而x?x0或其它时，不是无穷小）x数列的极限，x??时,为无穷小；函数的极限，只有当自变量取某种极限状态时，函数的极限等于0，它称为无穷小。
考研高数知识总结
