江西省上饶县中学2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（174）（无
答案）
第一试
一、填空题（每小题8分，共64分）
1. 如图1，已知正方体ABCD?A1B1C1D1的边长为4，P、Q、R分别是棱AB、AD、AA1上的点，AP?1,AQ?2,AR?3.则四面体C1PQR的体积为.
2. 从1,2,L100中取出三个不同的数，使得其不能组成一个三角形的三边长的不同取法有种.
3. 已知集合，A?xx?a0?a1?7?a2?7?a3?7?23?其中，a??1,2,L,6?(i?0,1,2,3).
i若正整数M、n?A，且m?n?2014(m?n)则符合条件的正整数数对(m,n)有个.
4. 如图2，设P、Q分别是两个同心圆（半径分别为6、4）上的动点.当P、Q分别在圆上运动时，线段PQ的中点M所形成的区域面积为.
5. 函数f(x,y)?x?y?2xy?2xy?3x?3y?2x?2y?2的最小值为.
442222?9?xy?9?x?yz??6. 计算：?C??C9?x??C9?x?y???.
x?1?z?0???y?09x97. 在三棱锥中O?ABC，已知OA?OB?OC?3,AC?22,AB?2，且OB?AC.以O为球心、1为半径作一个球.则三棱锥O?ABC不在球内部的部分体积为. 8. 抛一颗色子三次，所得点数分别为m、n、p.则函数y?为增函数的概率为.
23n2mx?x?px?1上?1,???32二、解答题（共56分）
x2y2??1.试求实数数对(a,b)，满足对任意斜率为a的直线la与椭圆9.（16分）已知椭圆
364的交点A、B及直线x?b与椭圆上半部分的交点P可组成?PAB，均有?PAB的内心在直线
x?b上.
10.（20分）黑板上写有1,2,L,2014这2014个正整数.现进行如下操作：第一步划去最前面的两个数1并在2014后面写上这两数的和3；第二步划去最前面的三个数3、、2，4、5，并在最后面写上这三数的和12；如此继续下去.当t第步时，黑板上的数不够t?1个，停止操作.求在黑板上出现过的不同数的个数及这些不同数的和（若一个数多次出现，只计算一次）.
11.（20分）擎天柱为了防止魔方落入霸天虎手中，打算用激光刀将其销毁.擎天柱使用的方法是：每次切割可将魔方分成两个体积之比为2:7的六面体，每个六面体恰包含魔方的一个面，且任两次操作得到的截面在魔方中均有交点.而魔方的属性决定每次切割只能暂时将它割开，而无法分离，且只要它有
1的小正方体区域始终未被割到，就无法被销毁.证明：无论擎8天柱切割多少次，均无法销毁魔方.
加 试
一、（40分）如图3，AB为eO的一条切线，满足BD?AO，AB与eO的半径OC交于点E，K为线段AE上一点，作AL∥OK与CK交于点L.证明：当且仅当CK与eO相切时，CK?KL.
二、（40分）已知xi?
?2?1,2?1(i?1,2,L,2013)，令
?S?x1x2?x2x3?L?x2012x2013.求S能取到的不同的整数值的个数.
三、（50分）已知正整数n满足n?2014,(n,2014)?1.令
An??k?N1?k?n,(n,k)?1?,Bn??k?Ank?1?An?,Cn??k?Ank?1?An?.对
任意的k?An，记Sk??元素的个数.证明：
（1）
?kAn??，其中，?x?表示不超过实数x的最大整数，A表示集合中?n?k?Bn?(Sk?Sn?k)???(Sk?Sn?k)；
k?Cn（2）
k?Cn?(Sk?Sn?k)?AnBn(modn).
江西省上饶县中学2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(174)(无答案)
