目 录
............................................................................................................................... 1 第一讲 基础篇
第二讲 核心篇 ............................................................................................................................... 4 第三讲 应用篇 ............................................................................................................................... 9
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第一讲 基础篇
行列式与矩阵
一、从行列式讲起 1. 行列式的本质定义
a11a21二阶行列式的面积.
a12a22?a11a22?a12a21?S
a11a21a12a22是由两个2维向量组成，其结果为以这两个向量为邻边的平行四边形
a11a12三阶行列式a21a22a31a32a13a23是由三个3维向量(a11,a12,a13)，(a21,a22,a23)，(a31,a32,a33)组a33成，其结果为以这三个向量为邻边的平行六面体的体积.
Dn?An?n?a11a21an1a12a22an2a1na2nann是由n个n维向量组成，其结果为以这n个向量为邻边的
n维图形的n维体积.
2. 行列式的性质
（1）如果行列式中某一行（列）元素全为零，则行列式等于零； （2）如果行列式中某两行（列）元素对应成比例，则行列式等于零；
（3）（互换）互换行列式中某两行（列）元素的位置，行列式的值只改变正负号； （4）（倍乘）常数k乘以行列式，即行列式的某行（列）元素分别乘以k；
（5）（倍加）将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k后加到另一行(列)对应位置的元素上, 行列式的值不变；
（6）（单行可拆（加）性）如果行列式中某行（列）的每个元素都是两个数的和，则这个行列式可以拆成两个行列式的和；
（7）行列式与它的转置行列式相等, 即D?DT.
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3. ★重要观点：行列式由向量组成
（1）如果行列式不等于零，那么组成行列式的向量全独立； （2）如果行列式等于零，那么组成行列式的向量中至少有一个多余. 【注】二、三阶行列式的计算：
a11a21a12a22?a11a22?a12a21；
a11a12a13a23?a11a22a33?a12a23a31?a21a32a13?a13a22a31?a12a21a33?a23a32a11. a33a21a22a31a32二、矩阵的本质是什么？ 1. 表面上，矩阵表达系统信息.
2. 本质上，设矩阵Am?n，满足： ?r(A)?k ①存在k阶子式不为0 ，
②任给(k?1)阶子式全为0，则秩r(A)?k. ①存在k阶子式不为0 ，?存在k个独立向量
②任给(k?1)阶子式全为0，?任给(k?1)个向量中至少有一个多余
?有且仅有k个独立向量?r(A)?k.
★重要观点：
矩阵Am?n?a11?a??21???am1a12a22am2a1n??a2n?是由向量组成. ??amn?从行上看：m个n维行向量；从列上看：n个m维列向量. 其本质为秩r(A)?组成A的独立向量的个数. 1）“台阶数=秩”
2）化矩阵A为行（最简）阶梯形矩阵
①若矩阵A满足：1）若有零行全在矩阵下方；2）从行上看，自左边起，出现连续零的个数自上而下严格单增.称为行阶梯形矩阵.
②若矩阵A还满足：3）台角位置元素为1；4）台角正上方元素全为零.称为行最简阶梯形
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矩阵.
3）初等变换法——互换、倍乘、倍加
?57【例1】化矩阵A??0??490?为行最简阶梯形矩阵.
???360??
??123?【例2】化矩阵A???254???0?11??为行最简阶梯形矩阵. ?302??4?3
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第二讲 核心篇
向量组与方程组
【综述】
方程组求解?一个向量与一组向量的关系
?a11x1?a12x2??a1nxn?b1,?a11??a12??????ax?ax??ax?b,aa?2112222nn22122???x1???x2????????????aaax?ax??ax?b?m1??m2?mnnm?m11m22?a1n??b1?????ab2?2n????xn? ????????a?mn??bm??x1?1?x2?2?★重要观点：
?xn?n??
方程组的解就是描述一个向量与一组向量之间关系的表示系数. 一、定性研究
①相关性问题（有没有多余向量） ②表示性问题（如何表示多余向量） ③代表性问题（极大线性无关组） ④等价性问题（两个向量组之间的关系） 1. 相关性问题
?1,?2,,?s中有没有多余的向量????1,?2,第1章 行列式?????1,?2,第2章 矩阵??第3章 向量组
?有?没有
,?s?0,,?s?0,?s)?s,,?s)?s （局限于方形）
?r(?1,?2,?r(?1,?2,
?如果存在一组不全为0的数x1,x2,,xs，使得x1?1?x2?2??xs?s?0成立，称
?1,?2,,?s为线性相关.（多余）
若x1?1?x2?2?4
?xs?s?0成立，必须要求x1?x2??xs?0，称?1,?2,,?s为线
性无关.（独立） 第4章 方程组
???1,?2,?x1???x2??,?s??0有非零解.（齐次） ?????xs???1,?2,?x1???x,?s??2??0只有零解.
?????xs?【注】学会挖掘各充要条件之间的关系. 【应用】 ①第一组定理 1）若向量组?1,?2,若向量组?1,?2,,?s线性相关，则向量组?1,?2,,?s,?s?1线性相关；
,?s线性相关，则向量组?1,?2,,?s?1线性相关性不确定. ,?s,?s?1线性相关性不确定；
2）若向量组?1,?2,若向量组?1,?2,②第二组定理 3）若向量组?1,?2,性相关性不确定； 若向量组?1,?2,,?s线性无关，则向量组?1,?2,,?s线性无关，则向量组?1,?2,,?s?1线性无关.
??1???2?,?s线性相关，则向量组?1???，?2???，
??1???2???s?，?s???线
??s?,?s线性相关，则向量组?1,?2,,?s线性相关.
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4）若向量组?1,?2,若向量组?1,?2,,?s线性无关，则向量组?1,?2,,?s线性无关；
,?s线性无关，则向量组?1,?2,,?s线性相关性不确定.
【总结】部分相关?整体相关；整体无关?部分无关；原来相关?缩短相关；原来无关?延长无关. 2. 表示性问题
?能否由?1,?2,?能 ,?s线性表示??不能????1,?2,第1章 行列式?????1,?2,第2章 矩阵?,?s,??0,,?s?0 （反推均不成立） （局限于方形）
??r(?1,?2,??r(?1,?2,,?s,?)=r(?1,?2,,?s,?)?r(?1,?2,,?s),?s)?1
第3章 向量组
?如果存在一组数x1,x2,,xs，使得x1?1?x2?2??xs?s??成立，则称?可由
?1,?2,,?s线性表示.
不存在任何一组数x1,x2,,xs，使得x1?1?x2?2??xs?s??成立，则称?不可由
?1,?2,,?s线性表示.
第4章 方程组
???1,?2,?x1???x,?s??2???有解.（非齐次）
?????xs???1,?2,
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?x1???x,?s??2???无解.
?????xs?新东方在线 [www.koolearn.com ]考研数学网络课堂电子教材系列 线性代数
3. 代表性问题——极大线性无关组 ①定义：从向量组?1,?2,,?s中取出向量组?i1,?i2,,?ir(r?s)，若其满足
1）线性无关；2）向量组?1,?2,,?s中任一向量?i均可由其表示.
则称向量组?i1,?i2,,?ir为向量组?1,?2,,?s的一个极大线性无关组.
②应用——若Ax?0有无穷多个解向量，一般用基础解析来表示. ★重要观点：Ax?0的无穷多解的极大无关组?Ax?0的基础解析. 注：基础解析的定义：
设?1,?2??s，若其满足： 1）是Am?nx?0的解； 2）线性无关；
3）Ax?0的任一解均可由其表示；
则称?1,?2??s为Ax?0的一个基础解系，其中s?n?r(A).
4.等价性问题——研究一组向量与一组向量之间的关系（在定量描述中讲解） 设（I）?1,?2,?,?s（II）?1,?2,?,?t
???1?k11?1?k12?2???k1t?t若①???2?k21?1?k22?2???k2t?，则称（I）可由（II???）线性表示. ???s?ks1?1?ks2?2???kst????1?l11?1?l12?2???l1s?S若②???2?l21?1?l22?2???l2s?S，则称（II）可由（I）线性表示???.
???t?lt1?1?lt2?2???lts?S二、定量描述
1.解Ax?0（齐次方程组） 当r(A)?n?Ax?0只有0解；
当r(A)?n?Ax?0有非0解（无穷多解） 则其求解步骤为：
①写出系数矩阵A，化A为行（最简）阶梯形矩阵，求出r(A)；
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②按列找出一个秩为r(A)的子矩阵，则剩余位置的变量即为自由变量； ③按照基础解系的定义反着走③?②?① ④全部解（通解）?k1?1?k2?2???ks?s
?x1?x2?x3?4x4?3x5?0?2x?x?3x?5x?5x?0?12345【例】求?的全部解
?x1?x2?3x3?2x4?x5?0??3x1?x2?5x3?6x4?7x5?0
2.解Ax??（非齐次）
若?为Ax?0的任一解，则A??0,A?*???A(???*)??； ?*为Ax??的某一特解，故Ax??的全部解?Ax?0的全部解?Ax??的一个特解； 即全部解（通解）?k1?1?k2?2???ks?s??.
*?x1?x2?x3?x4?x5?a?x2?2x3?2x4?6x5?b?【例】?，当a,b为何值时，方程组有解，并求出全部解.
3x?2x?x?x?3x?02345?1??5x1?4x2?3x3?3x4?x5?2
（等价性问题的内容见前面）
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第三讲 应用篇
特征值与二次型
引例
（1）给出x?xy?y?1，通过某正交变换，变成：
22?2?x?22?y?2?2????3???2?1
（2）二次型
22f(x1,x2,x3)?a11x12?a22x2?a33x3?2a12x1x2?2a13x1x3?2a23x2x3
矩阵形式：f(x1,x2,x3)?xAx，其中：
T?x1??a11a12???x??x2?,A??a12a22?x??a?3??13a23a13??a23?;其中，只含平方项的二次型，称为二次型的标准形. a33???1化二次型为标准形，也就是“化A??”成为关键： ①若存在可逆矩阵C，使得CAC?B，则称A与B相似. ②若存在可逆矩阵D，使得DAD??，则称A相似于?.
注：若存在非零向量?i，使得A?i??i?i，则称?i为矩阵A的特征值，?i为?i对应的特征向量.
?1?100???【练习】若A??122?，求A的特征值?i与对应的特征向量?i.
?113???
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③若存在正交矩阵P，使得P?1AP??，则称A相似于?.
注：若矩阵P满足PPT?E，则称矩阵P为正交矩阵，且有P?1?PT. 则：f(x1,x2,x3)?xAx?(Py)A(Py)?yPAPy?y?y 【总结】正交变换法：
1°把二次型表示为矩阵形式xTAx；
2°求出A的全部互异特征值?i，设?i是ni重根；
3°对每个特征值?i，解齐次线性方程组(?iE?A)x?0，求得基础解系，即属于?i的特征向量；
4°将A的属于同一个特征值的特征向量正交化； 5°将全部向量单位化；
6°将正交单位化后向量为列,且按?i在对角矩阵的主对角线上的位置构成正交矩阵P； 7°令x?Py，得xAx??1y1??2y2?
T222. ??nynTTTTT10
XX考研数学线性代数基础讲义
