2015年广西民族大学高等代数考研真题A卷
考生须知
1． 答案必须写在答题纸上，写在试题上无效。
2． 答题时一律使用蓝、黑色墨水笔作答，用其它笔答题不给分。
3． 交卷时，请配合监考人员验收，并请监考人员在准考证相应位置签字（作为考生交卷的
凭证）。否则，产生的一切后果由考生自负。 一、（本题20分）解方程
x?1100
二、（本题20分）已知矩阵
10x?1625100x?354004x?4?0.
?11?1??
A???111????1?11??
矩阵X满足AX?A?2X，其中A是A的伴随矩阵，求矩阵X．
三、（本题20分）已知3维线性空间V有两组基：
??1?
(I){?1,?2,?3};
（1）求(I)到(II)的过渡矩阵；
(II){??3,?2?2,?3?1}
（2）若向量?在基(I)下的坐标为(1,2,3)，求?在基(II)下的坐标；
（3）定义线性变换A为：A(?1)??1,A(?2)?2?2,A(?3)?3?3??1，求A关于(I)、
T(II)的矩阵．
四、（本题20分）求一个正交变换化下列二次型为标准形：
22f(x1,x2,x3)?x12?2x2?3x3?4x1x2?4x2x3
五、（本题20分）已知线性空间M2(K)的线性变换
?(X)?BTX?XTB，?X?M2(K),
其中B???11??，线性子空间 01??
???x11W?????x21?
（1）求W的一个基；
?x12??x?x?0,x?K? ?1122ijx22???（2）证明W是?的不变子空间；
（3）将?看成W上的线性变换，求W在(1)的基下的矩阵．
六、（本题15分）设k,n?N，
?f(x)?(x?1)k?n?2x(x?1)k?n?1?xk?1|(x?1)f(x)?(x?1)k?n?1．
?(2x)k(x?1)n，证明：
七、（本题15分）设V为闭区间[a,b]上全体实函数构成的实向量空间，f1,,fn?V, 则
f1,
,fn线性无关的充要条件是存在a1,,an?[a,b]使得行列式det(fi(aj))?0.
八、（本题20分）设I是n阶单位矩阵，证明：对任何正整数m，总存在n阶实方阵X满足方程
?10?12X2m?1?Xm?I?????12
0???. 0??n?
2015年广西民族大学高等代数考研真题A卷
