绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则AIB=
（A）{0，1}
（B）{–1，0，1} （D）{–1，0，1，2}
（C）{–2，0，1，2} （2）在复平面内，复数
（A）第一象限 （C）第三象限
1的共轭复数对应的点位于 1?i
（B）第二象限 （D）第四象限
（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为
（A）（C）
1 27 6
（B）（D）
5 67 12（4）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展
做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为 学&科网 （A）32f （C）1225f
（B）322f （D）1227f
（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
（A）1 （C）3
（B）2 （D）4
（6）设a，b均为单位向量，则“a?3b?3a?b”是“a⊥b”的
（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件
（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
（7）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x?my?2?0的距离，当θ，m变化时，d的
最大值为 （A）1 （C）3
（B）2 （D）4
（8）设集合A?{(x,y)|x?y?1,ax?y?4,x?ay?2},则
（A）对任意实数a，(2,1)?A
（B）对任意实数a，（2，1）?A （D）当且仅当a?（C）当且仅当a<0时，（2，1）?A
3时，（2，1）?A 2第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）设?an?是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则?an?的通项公式为__________．
（10）在极坐标系中，直线?cos???sin??a(a?0)与圆?=2cos?相切，则a=__________．
ππfx）=cos(?x?)(??0)， （11）设函数（若f(x)?f()对任意的实数x都成立，则ω的最小值为__________．
64（12）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y?x的最小值是__________．
（13）能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增函数”为假命
题的一个函数是__________．
x2y2x2y2（14）已知椭圆M：2?2?1(a?b?0)，双曲线N：2?2?1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四
abmn个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________．
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题13分）
在△ABC中，a=7，b=8，cosB=–（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）求AC边上的高．
（16）（本小题14分）
如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，CC1?平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB=BC=5，AC=AA1=2．学科*网
1． 7
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF； （Ⅱ）求二面角B?CD?C1的余弦值；
（Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交．
（17）（本小题12分）
电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 电影部数 好评率 第一类 140 0.4 第二类 50 0.2 第三类 300 0.15 第四类 200 0.25 第五类 800 0.2 第六类 510 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；
（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“?k?1”表示第k类电影得到人们喜欢，“?k?0”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差D?1，D?2，D?3，D?4，D?5，D?6的大小关系．
（18）（本小题13分）
设函数f(x)=[ax2?(4a?1)x?4a?3]ex．
（Ⅰ）若曲线y= f（x）在点（1，f(1)）处的切线与x轴平行，求a； （Ⅱ）若f(x)在x=2处取得极小值，求a的取值范围．
（19）（本小题14分）
已知抛物线C：y2=2px经过点P（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N． （Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
uuuuruuuruuuruuur11（Ⅱ）设O为原点，QM??QO，QN??QO，求证：?为定值．
??
（20）（本小题14分）
设n为正整数，集合A={?|??(t1,t2,L,tn),tk?{0,1},k?1,2,L,n}．对于集合A中的任意元素
??(x1,x2,L,xn)和??(y1,y2,L,yn)，记
1M（?，?）=[(x1?y1?|x1?y1|)?(x2?y2?|x2?y2|)?L?(xn?yn?|xn?yn|)]．
2（Ⅰ）当n=3时，若??(1,1,0)，??(0,1,1)，求M（?,?）和M（?,?）的值；
（Ⅱ）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素?,?，当?,?相同时，M（?，?）是奇数；当?,?不同时，M（?，?）是偶数．求集合B中元素个数的最大值；学.科网 （Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素?,?， M（?，?）=0．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．
2018年北京理数高考真题及答案解析
