全国2010年7月高等教育自学考试
试卷说明：在本卷中， AT表示矩阵A的转置矩阵；A*表示A的伴随矩阵；R(A)表示矩阵A的秩；|A|表示A的行
列式；E表示单位矩阵。 1? 设3阶方阵A=[ a 1, a 2, a 3]，其中a i(i= 1,2,3)为A的列向量, 若|B|=|[a 1+2 a 2, a 2, a 3]|=6，则 |A|= (
3
2 ?计算行列式
0
2 0
)A.-180 B.-120C.120
2 3
D.180
) A.-12 B.-6 C.6 D.12
2 10 5 0 0 0 2 0 2
3
1 2
3
?设 A=3 4，则 |2A*F(
)A.-8 B.-4C.4 D.8
4. 设a 1, a 2 , a 3, a 4都是3维向量，则必有 A. a 1, a 2, a
3, a 4 线性无关 3, a 4线性表示
B. a 1 , a 2, a 3, a 4 线性相关 D. a 1不可由a 2 , a 3, a 4线性表示 若A为6阶方阵，齐次线性方程组
Ax=0的基础解系中解向量的个数为 2,贝U
C. a 1可由a 2, a
5.
R(A)= ( ) A . 2 B 3C . 4 D . 5
6. 设A、B为同阶矩阵，且 R(A)=R(B)，则( 7 .设A为3阶方阵，其特征值分别为 &若A、B相似，则下列说法错误.的是( 9.
B . 0C . 2 D . 4
10 .设3阶实对称矩阵 A的特征值分别为 2, l, 0,则(
)A. A与B相似 B . A|=|B|C. A与B等价 D . A与B合同
) A . 0 B . 2C. 3 D . 24
2, 1, 0则|A+2E|= (
)A . A与B等价B . A与B合同C . |A|=|B| D . A与B有相同特征
若向量 a =(1 , -2, 1)与 B = (2 , 3, t)正交，则 t= ( ) A . -2 )A. A正定 B . A半正定C . A负定 D . A半负定
二、填空题(本大题共10小题海小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
3
1l.设 A= 0
2
2
2
1 ,B= 4
1
1
0 1 0
山
，则 AB= _______ .
12 .设A为3阶方阵，且|A|=3，则|3A-l|= _________ . 13 .三元方程 X1+X2+X3=0的结构解是 ________ .
14 .设a =(-1 , 2 , 2)，则与a反方向的单位向量是 _________ .
15 .设A为5阶方阵，且 R(A)=3，则线性空间 W={x|Ax=0}的维数是 __________ .
1
16 .设A为3阶方阵，特征值分别为-2,丄，I，则|5A-1匸 .
2 ------------------------------- 17 .若A、B为同阶方阵，且 Bx=0只有零解，若 R(A)=3，贝U R(AB )= _________ .
2
2
浙02198#线性代数试卷 第1页(共25页)
18 .二次型 f(X1 , X2, X3)= X1 -2X1X2+X2-X2X3 所对应的矩阵是 ________ .
浙02198#线性代数试卷 第2页（共25页）
1 1
19.设3元非齐次线性方程组
Ax=b 有解 a 1= 2 , a 2= 2 ,且R（A）=2，则Ax=b的通解是
3
3
1 3
20.设a = 2 ,则A= aa T的非零特征值是 ___________
23.求非齐次线性方程组
3x
3 3
3x1 x2 x1 5x2 24.求向量
组
3x
9X3
X4 1
4x4 4勺结构解?
白 8x4 0
a 1= :(1,
2,
3，4)， a 2=(
?，a
4= (2， 3 6，
8) 的秩
0-1，2, ， 3），
a 3= (2， 3， 8，
11），
2
25.已知A=
1 a b
2
3 的一个特征向量 2
5 1
=（1，1，-1）丁，求a,b及所对应的特征值, 并写出对应于这个特征值的
全部特征向量
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
2 0 0 0 1 0 2 0 0 0 21 .计算5阶行列式D=
2
22.设矩阵X满足方程0
0
0 1
0
0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 2 1 0 0 1 0 X 0 0 1 = =2
0 1 0
4 0 2
3
1求X 0
0 2 1
26.用正交变换化二次型
f（X1,X2,X3）= xj 2xf 2xf 4x2X3为标准形，并写出所用的正交变换
四、证明题（本大题共 1小题，6分） 27.设a 1， a 2， a 3是齐次线性方程组 Ax = 0的一个基础解系?证明a 1，a 1+ a 2， a 2+ a 3也是Ax = 0的基础解系
浙02198#线性代数试卷 第3页(共25页)
全国2011年1月
说明：本卷中，AT表示矩阵A转置，det(A)表示方阵A的行列式，A-1表示方阵A的逆矩阵，(，)表示向量 内积，E表示单位矩阵.
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无 1. D. 47
2. 已知 A2+A+E=0，则矩阵 A-1=(
设 A 是 4 阶方阵，且 det(A)=4，贝U det(4A)=( )A . 44 B. 45C. 46
)A . A+E B. A-EC. -A-E D. -A+E
)
，的
3. 设矩阵A , B , C, X为同阶方阵，且 A , B可逆，AXB=C,则矩阵X=( A. A-1CB- B. CA-1B-1 C. B-1A-1C 4. 正确的是(
A . ATA 是 s > 对称矩 B . ATA=AAT C . (ATA)T =AAT
设 1,
l,
2 , 2,
3, 3,
4, 4, 1 ,
5是四维向量，贝5一定线性无关 2,
3,
D . CB-1A-1
设A是s >n矩阵(s丰n)则以下关于矩阵 A的叙述
D . AAT是s >对称矩阵
)
U (
2,
3,
4,
5一定线性相关 2,
3,
4,
5线性表出
B . l ,
D .
5 —定可以由 4线性表出1一定可以由
设A是n阶方阵，若对任意的 n维向量X均满足 设矩AX=0，贝U
( 阵A与B相似，则以下结论不正确.的是(
)A . A=0 B . A=EC .秩(A)=n D. 0< 秩(A) ) 秩(A)=秩(B) B . A与B等价C . A与B有相同的特征值D . A与B的特征向量一定相同 3 8. 3为矩阵 0 5的三个特征值，则 2 2 A= 0 0 2 1 2 3=( )A . 10 B. 20C. 24 D. 30 二次型 f(X1 , X2, X3)= X12 X2 X3 2X1X2 2X1X3 2X2X3 的秩为( )A . 1 B . 2C . 3 D . 10 .设 A , B是正定矩阵，则 T A . AB 一定是正定矩阵 B . A+B 一定是正定矩阵 C . (AB) 二、填空题(本大题共 1 0 11 .设A= 一定是正定矩阵 D . A-B 一定是负定矩阵 10小题，每小题2分，共20分) 1 k , k为正整数，则A= 1 1 .12 .设2阶可逆矩阵A的逆矩阵 A-1 = 3 ,则矩阵A= 13 .设同阶方阵A , B的行列式分别为-3, 5，则det (AB ) = _____________ 14 .设向量 =(6,-2, 0, 4),(-3, 1, 5, 7)，向量满足 2 + =3 ,则= = 2 3 3 1 0 2 1 4 15 .实数向量空间 V={( X1, X2, …Xn)|3 X1+ X2+…+ Xn =0}的维数是 .16 .矩阵A= 0 7 “丄 的秩 4 5 浙02198#线性代数试卷 第4页（共25页） 17 .设1, 2是齐次线性方程组 Ax=0的两个解，则 A ( 3 1 7 2 ) = __________________ 浙02198#线性代数试卷 第5页(共25页)
(完整版)历年全国自考线性代数试题及答案
