高中数学：函数解析式的十一种方法
一、定义法 二、待定系数法 三、换元（或代换）法 四、配凑法 五、函数方程组法
七、利用给定的特性求解析式.
一、定义法：
六、特殊值法 八、累加法 九、归纳法 十、递推法 十一、微积分法
【例1】设f(x?1)?x2?3x?2，求f(x).
?f(x?1)?x2?3x?2?[(x?1)?1]2?3[(x?1)?1]?2 =(x?1)2?5(x?1)?6 ?f(x)?x2?5x?6
【例2】设f[f(x)]?【解析】设?x?1，求f(x). x?2f[f(x)]?x?1x?1??x?2x?1?111?11?x?f(x)?1 1?x
1111【例3】设f(x?)?x2?2,g(x?)?x3?3，求f[g(x)].
xxxx11122【解析】?f(x?)?x?2?(x?)?2?f(x)?x2?2
xxx111313又?g(x?)?x?3?(x?)?3(x?)?g(x)?x3?3x
xxxx故
f[g(x)]?(x3?3x)2?2?x6?6x4?9x2?2
【例4】设f(cosx)?cos17x,求f(sinx).
【解析】
f(sinx)?f[cos(?x)]?cos17(?x)
22???cos(8??
??17x)?cos(?17x)?sin17x.
22?二、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
【例1】 设f(x)是一次函数，且f[f(x)]?4x?3，求f(x) 【解析】设f(x)?ax?b (a?0)，则
f[f(x)]?af(x)?b?a(ax?b)?b?a2x?ab?b
?a?2?a2?4?a??2?? ?? 或 ??b?3?ab?b?3?b?1?f(x)?2x?1 或 f(x)??2x?3
【例2】已知f(x?2)?2x?9x?13，求f(x).
【解析】显然，则又
2f(x)是一个一元二次函数。设f(x)?ax2?bx?c(a?0)
f(x?2)?a(x?2)2?b(x?2)?c ?ax2?(b?4a)x?(4a?2b?c) f(x?2)?2x2?9x?13
?a?2?a?2??2比较系数得：?b?4a??9 解得：?b??1?f(x)?2x?x?3
?4a?2b?c?13?c?3??三、换元（或代换）法：已知复合函数f[g(x)]的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
【例1】 已知f(x?1)?x?2x，求f(x?1) 【解析】令t?x?1，则t?1，x?(t?1)2
Qf(x?1)?x?2x
?f(t)?(t?1)2?2(t?1)?t2?1,
?f(x)?x2?1 (x?1)
?f(x?1)?(x?1)2?1?x2?2x (x?0)
【例2】 已知
1?xx2?11f()??,求f(x).
xxx21?xx2?11111?x1)???1?? ?t,则x?【解析】设则f(t)?f(22xxxxxxt?1?1?11??1?(t?1)2?(t?1)?t2?t?1?f(x)?x2?x?1 121()t?1t?1【例3】 设f(cosx?1)?cosx，求f(x).
解：令t2?cosx?1,?cosx?t?1又?1?cosx?1,??2?cosx?1?0即?2?t?0
?f(t)?(t?1)2,(?2?t?0)即f(x)?(x?1)2,x?[?2,0]
x?1)?1?x （1） xx?1?1x?1x?1x?1x)?f()?1?在（1）式中以代替x得f(
x?1xxxxx?112x?1即f( （2） )?f(?)?xx?1x11x?2又以?代替（1）式中的x得：f(? （3） )?f(x)?x?1x?1x?1 【例4】 若f(x)?f(x?22x?1x3?x2?1x3?x2?1(1)?(3)?(2)得:2f(x)?1?x????f(x)?
x?1xx(x?1)2x(x?1)【例5】设f(x)满足af(x)?bf()?cx【解析】af(x)?bf(1x(其中a,b,c均不为0，且a??b)，求f(x)。
1111)?cx （1）用来代替x，得af()?bf(x)?c? （2） xxxx22acx2?bc由a?(1)?b?(2)得:(a?b)f(x)??a??bx
acx2?bc ?f(x)?22(a?b)x【例6】已知f(a【解析】设tx?1)?x2?2，求f(x).
?ax?1?0，则x?1?logat 即x?logat?1
f(t)?(logat?1)2?2?log2at?2logat?3
代入已知等式中，得：
?f(x)?log2ax?2logax?3
四、配凑法
已知复合函数f[g(x)]的表达式，要求f(x)的解析式时，若f[g(x)]表达式右边易配成g(x)的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化。
【例1】已知f(x?1)?x?2x,求f(x)的解析式。
【解析】Qx?2x可配凑成 ?可用配凑法
由f(x?1)?x?2x?(x?)2?1 令t?x?1
Qx?0
?t?1 则f(t)?t2?1 即f(x)?x2?1(x?1) 当然，上例也可直接使用换元法 令t?x?1 则t?x?1 得
x?(t?1)2?f(t)?(t?1)2?2(t?1)?t2?1 即 f(x)?x2?1(x?1)
由此可知，求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。
112【 例 2】已知f(x?)?x?2,求f(x).
xx【解析】此题直接用换元法比较繁锁，而且不易求出来，但用配凑法比较方便。
111 由f(x?)?x2?2?(x?)2?2
xxx1 令t?x??x2?tx?1?0
x 由??0即t2?4?0得t?R ?f(t)?t2?2
即：f(x)?x2?2(x?R)
实质上，配凑法也缊含换元的思想，只是不是首先换元，而是先把函数表达式配凑成用此复合函数的内函数来表示出来，在通过整体换元。和换元法一样，最后结果要注明定义域。
五、函数方程组法。
函数方程组法适用的范围是：题高条件中，有若干复合函数与原函数f(x)混合运算，则要充分利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分。
1【 例1】设f(x)满足f(x)?2f()?x,求f(x)的解析式。
x11【解析】要求f(x)可消去f(),为此，可根据题中的条件再找一个关于f(x)与f()的等式，
xx通过解方程组达到消元的目的。
1 Qf(x)?2f()?x………………………①
x1 显然，x?0,将x换成得
x11 f()?2f(x)?……………………………..②
xx1?f(x)?2f()?x??x由?
11?f()?2f(x)??x?x1消去f()，得
x12f(x)??x?
33x小结：函数方程组法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如f(x)、f()；互为相反数，如f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(x)的解析式。
x?11x【 例 2】已知f(a【解析】设t)?x2?2，求f(x).
?ax?1?0，则x?1?logat 即x?logat?1
f(t)?(logat?1)2?2?log2at?2logat?3
代入已知等式中，得：
?f(x)?log2ax?2logax?3
【例 3】设f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f(x)?g(x)?【解析】f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，
1,试求f(x)和g(x)的解析式 x?1?f(?x)?f(x),g(?x)??g(x)
又f(x)?g(x)?1 ① ， x?11 x?1用?x替换x得：f(?x)?g(?x)??即f(x)?g(x)??1② x?1解① ②联立的方程组，得 f(x)?11， g(x)?x2?1x2?x六、特殊值法：（赋值类求抽象函数）
【例1】设f(x)是定义在N上的函数，满足f(1)?1，对于任意正整数x,y，均有f(x)?f(y)?f(x?y)?xy，
求
f(x).
解：由设
f(1)?1，f(x)?f(y)?f(x?y)?xy
y?1得：f(x)?1?f(x?1)?x
即：
f(x?1)?f(x)?x?1
,t?1代替，然后各式相加
在上式中，x分别用1,2,3,?可得：
111(t?2)(t?1)?1?t2?t 22211?f(x)?x2?x(x?N?)
22f(t)?【例2】 已知：f(0)?1，对于任意实数x、y，等式f(x?y)?f(x)?y(2x?y?1)恒成立，求f(x)
【解析】对于任意实数x、y，等式f(x?y)?f(x)?y(2x?y?1)恒成立，
不妨令x?0，则有f(?y)?f(0)?y(?y?1)?1?y(y?1)?y?y?1
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高中数学：函数解析式的十一种方法
