第四章 紧致性
紧致性是数学分析中的重要概念。尽管这个概念出现的较早，但是，从本质上讲，它是一个拓扑概念，也是一个最基本的拓扑性质。
我们先回顾一下度量空间紧性（列紧性）概念（在实直线上，紧性是描述闭区间性质的，而在实分析中，闭区间具有良好的性质）。
§4-1 度量空间(X,d)中紧性（简单复习）
定义1 设A是(X,d)的一个子集。如果A中任一无穷点列有子列收敛于X中的一点，则称A是相对列紧的；
如果A中每个收敛子列的极限点都属于A，则称A是列紧的； 如果(X,d)本身是列紧的，则称为列紧空间。
注释：这里的紧性之所以成为列紧，是因为用序列收敛描述的。
●下面的结论是显然的（由于都是过去的知识，所以不加证明的给出） （1） 有限子集总是列紧的。
（2） 列紧空间是完备的（但，完备空间未必是列紧的）。 （3） 若A是(X,d)的列紧子集，则A是(X,d)的有界闭集。
（4） 在一般度量空间中，（3）成立，反之未必；如果(X,d)是列紧空间，则 A列紧 ? A是闭集。 （5） 列紧的度量空间必是可分的。
●进一步分析：列紧性能用来刻画闭集，但是，它是利用“序列”形式刻画的。人们找出了一种非序列刻画的方式。
定义2 设A是(X,d)的一个子集。U是X的一族开集，满足中的开覆盖；
若U中只有有限个子集，称U为有限开覆盖；
若X本身的每一开覆盖都有一有限子覆盖，则称X为紧致空间（有的书成为紧空间） ★ 理论上可以证明：对于度量空间来说，列紧性与紧致性是等价的。即列紧空间?紧致空间（这在泛函分析书中都有介绍）。
U?UUU?A，则称U为A在X§4-2 拓扑空间的紧性
在数学分析中，人们很早就注意的，实直线上闭区间[a,b]具有某些极好的性质，它对于证明极大值定理、一致连续性定理等起着至关重要的作用。
但是，如何在拓扑空间上表述这个特性，长期不得而知。所以，最早人们认为[a,b]上这个特性取决于[a,b]上任何一个无穷子集都有极限点，进而提出了列紧性概念。后来研究发现，在拓扑空间上，序列并不是个好的表达形式。因此，列紧性并未触及到问题的本质。
进一步深入研究，认为用“开集”表达形式更为自然。并且从实分析理论中知道：“实数空间R的子集为有界闭集?它的每一开覆盖都有有限子覆盖”。
这种描述的优点：①用有限族去代替无穷族（序列）的研究；②无须度量描述。
解释：为什么可以用有限覆盖表述无穷序列收敛
定义3 设X为拓扑空间，如果X的每一开覆盖都有有限子覆盖，则称X为紧致空间。 ★ 显然，每一紧致空间也都是Lindel?f空间（X的每一开覆盖都有可数子覆盖），反之不然。 定义4 设A为拓扑空间X的非空子集，若A作为X的子空间是紧致的，则称A为X的紧致子集。
例1 实数集R不是紧致空间。
因为A?{(?n,n)n?N}为R的开覆盖，但是A中任何有限子集族 {(?n1,n1),(?n2,n2),L,(?nk,nk)}
的并集为(?max{n1,n2,L,nk},max{n1,n2,L,nk})，它不能覆盖R，即A没有有限子覆盖（解释：要覆盖R只有n??。但这是一个无限的过程，不能用有限的方法得到）。
例2 R的开区间(0,1)不是紧致的。 因为开区间族A：
(,1),(,1),L,(,1)
是(0,1)的一个开覆盖，中任何有限个成员都不能覆盖(0,1)。
12131n1n?N}（N为正整数集）是紧致的。 n 因为，任给A的一个开覆盖A，A中有一个成员包含0，记这个成员为U（开区间）。于是，
1开区间U除了有限个“”外，它要包含A的所有其余的点，因此，对于A中的每一个U未包含
n的点，从A中选一个报还它的成员，这些成员当然是有限的。
例3 R的子空间A?{0}?{例4 任何一个仅含有限多个点的空间必然是紧致的。 ● 重新看一下定义4：
说A为拓扑空间X的紧致子集，是指A中的开集构成的A的覆盖都有有限子覆盖，并没有明显说明：每一X的开集构成的A的覆盖都有有限子覆盖。因此，下面的定理是必要的。
定理1 拓扑空间X的子集A是X的紧致子集?每一由X的开集构成的A的覆盖都有有限子覆盖。
证明：(?) 假设A是紧致的。令A?{B?}???是由X的开集组成的A的一个覆盖，那么，
{B??A???}就是A中开集所组成的A的一个开覆盖。由于A是紧致的，从而有一个有限子族
{B??A,B??A,L,B??A}
12m可以覆盖A，即它就是A的一个覆盖A的有限族。
(?) 反之，设A的每一由X的开集构成的覆盖都有有限子覆盖。设A?{U????}为A的
由X的开集构成的覆盖，其有限子覆盖为
{U?1,U?2,L,U?n} 而
(U?1?A)?(U?2?A)?L?(U?n?A)?A 故A是X的紧致子集。
定理2 设B为拓扑空间X的基，若由B的成员构成的X的每一覆盖（自然是开的）都有有限子覆盖，则X为紧致空间。
证明： 设A是X的任一开集。对于?A?A，则A是开集，故存在B的子族BA，使得
A?B?BAUB。令
A?A A=?由
B?AUBA?AA （即，覆盖A中所有成员A的B中集族）
UB?U(UB)?UA?X
B?BAA?A即，A是B中成员构成的X的覆盖。
如果A有有限子覆盖，不妨设为{B1,B2,L,Bn}.?Bi?A。故存在Ai?A，使得Bi?BAi，从而Bi?Ai。于是，A的有限子集族{A1,A2,L,An}一定是X的子覆盖。所以，X为紧致空间。 定理3 紧致空间的每一闭子集都是紧致子集。
证明： 设A是紧致空间X的闭子集，于是A是X的一个开集。 如果A是X的任一开覆盖，不难看出{A,A}构成X的一个开覆盖。
CC又因为X是紧致的，故{A,A}中存在有限集族{U1,U2,L,Um,A}是X的有限子覆盖，而
CC{U1,U2,L,Um}是A的一个有限子覆盖，即闭集A的任一开覆盖都有有限子覆盖，所以，A是紧
致的。
●下面的几个定理不加以证明的给出。
定理4 每一拓扑空间都是某一紧致空间的子空间。
定理5 若X1,X2,L,Xn均为紧致空间，则积空间X1?X2?L?Xn为紧致空间。
定理6 设f:X?Y是从拓扑空间X到Y的连续映射，若A是X的紧致子集，则f(A)是Y的紧致子集。
上述定理的解释：
▲定理4说明，对于非紧致的拓扑空间，可以通过补充一些元素的方法，使其成为紧致空间，并将这个紧致空间称为原空间的加一点的紧致化。 实直线的单点紧致化同胚于圆周（补充点N）； R的单点紧致化同胚于球面S。
同时，从定理4 又可以看出，紧致空间的子空间未必是紧致的。即，紧致性不是可遗传性质。
▲定理6说明：紧致集在连续映射下的象也是紧致集。
22N a R b
拓扑学第四章紧致性
