大一上学期高数期末考试
一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. 设f(x)?cosx(x?sinx),则在x?0处有( ).
（A）f?(0)?2 （B）f?(0)?1（C）f?(0)?0 （D）f(x)不可导.
2. 设?(x)?1?x1?x，?(x)?3?33x，则当x?1时（ ）.
（A）?(x)与?(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B）?(x)与?(x)是
等价无穷小；
（C）?(x)是比?(x)高阶的无穷小； （D）?(x)是比?(x)高阶的无穷小.
3. 若
F(x)??x0(2t?x)f(t)dt，其中f(x)在区间上(?1,1)二阶可导且
f?(x)?0，则（ ）.
（A）函数F(x)必在x?0处取得极大值； （B）函数F(x)必在x?0处取得极小值；
（C）函数F(x)在x?0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线y?F(x)的拐点；（D）函数F(x)在x?0处没有极值，点(0,F(0))也不是曲线y?F(x)的拐点。14.
设f(x)是连续函数，且 f(x)?x?2?0f(t)dt , 则f(x)?(x2x2（A）2 （B）2?2（C）x?1 （D）x?2.
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 2sinx5. limx?0(1?3x)? .
x6. 已知cosx是f(x)的一个原函数,则?f(x)?cosxxdx? .
?22?7.
nlim???n(cos2n?L?cos2n?1n?cosn?)? .
122?xarcsinx?1dx?8. －11?x22 .
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）
9. 设函数y?y(x)由方程
ex?y?sin(xy)?1确定，求y?(x)以及y?(0). 求1?x710.
?x(1?x7)dx.
)
?x?xe， x?0 1?设f(x)?? 求?f(x)dx．?32?2x?x，0?x?1?11.
1012. 设函数f(x)连续，，且x?0g?(x)并讨论g?(x)在x?0处的连续性.
g(x)??f(xt)dtlimf(x)?Ax，A为常数. 求
1y(1)???xy?2y?xlnx9的解. 13. 求微分方程满足
四、 解答题（本大题10分）
14. 已知上半平面内一曲线y?y(x)(x?0)，过点(0,1)，且曲线上任一点
M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线x?x0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）
15. 过坐标原点作曲线y?lnx的切线，该切线与曲线y?lnx及x 轴围
成平面图形D.
(1) 求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积
V.
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）
16. 设函数f(x)在?0,1?上连续且单调递减，证明对任意的q?[0,1]，
q1?f(x)dx?q?f(x)dx00.
??????0,?f(x)17. 设函数在上连续，且0，0.
证明：在?0,??内至少存在两个不同的点?1,?2，使f(?1)?f(?2)?0.（提
f(x)dx?0f(x)cosxdx?0xF(x)?示：设
?f(x)dx0）
解答
一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
??1cosx2 ()?c6e35. . 6.2x.7. 2. 8.
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导
x?ye(1?y?)?cos(xy)(xy??y)?0
.
ex?y?ycos(xy)y?(x)??x?ye?xcos(xy)
x?0,y?0，y?(0)??1
77x6dx?du 10. 解：u?x 1(1?u)112原式??du??(?)du7u(1?u)7uu?1 1?(ln|u|?2ln|u?1|)?c7 12?ln|x7|?ln|1?x7|?C77 11. 解：?1?30f(x)dx??xedx???x?3?x100102x?x2dx
??xd(?e)???301?(x?1)2dx0?2?x?x????xe?e???3??
2(令x?1?sin?)?cos?d?
12. 解：由f(0)?0，知g(0)?0。
x1xt?u??4
?2e3?1
g(x)??f(xt)dt?0x?f(u)du0x (x?0)
g?(x)?xf(x)??f(u)duxx02 (x?0)
g?(0)?lim0x?0?f(u)dux2?limx?0xf(x)A? 2x2
?A?AA?22，g?(x)在x?0处连续。
x?0limg?(x)?limx?0xf(x)??f(u)dux02
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