小学奥数知识点梳理

学而思小学奥数知识点梳理

学而思教材编写组 侍春雷

前言

小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。

概述

一、 计算

1． 四则混合运算繁分数

⑴ 运算顺序

⑵ 分数、小数混合运算技巧

一般而言：

① 加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式；

② 乘除运算中，统一以分数形式。 ⑶带分数与假分数的互化 ⑷繁分数的化简 2． 简便计算

⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与拆分 ⑷提取公因数 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序

① 运算定律的综合运用 ② 连减的性质 ③ 连除的性质

④ 同级运算移项的性质 ⑤ 增减括号的性质 ⑥ 变式提取公因数

形如：a1?b?a2?b?......?an?b?(a1?a2?......?an)?b

3． 估算

求某式的整数部分：扩缩法 4． 比较大小

① 通分

a. 通分母

b. 通分子

② 跟“中介”比 ③ 利用倒数性质

若

1a?1b?1c，则c>b>a.。形如：

m1n1?m2n2?m3n3，则

n1m1?n2m2?n3m3。

5． 定义新运算 6． 特殊数列求和

运用相关公式：

①1?2?3?n?n?n?1?2

②12?22???n2?2n?n?1??2n?1?6③an?n?n?1??n?n

④1?2???n??1?2??n??3332n2?n?1?24

⑤abcabc?abc?1001?abc?7?11?13 ⑥a2?b2??a?b??a?b?

⑦1+2+3+4?（n-1）+n+（n-1）+?4+3+2+1=n2

二、 数论

奇?奇=偶 奇×奇=奇 奇?偶=奇 奇×偶=偶

1． 奇偶性问题

偶?偶=偶 偶×偶=偶

2． 位值原则

形如：abc=100a+10b+c

3． 数的整除特征： 整除数 2 3 5 9 11 4和25 8和125 末尾是0、2、4、6、8 各数位上数字的和是3的倍数 末尾是0或5 各数位上数字的和是9的倍数 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数 末两位数是4（或25）的倍数 末三位数是8（或125）的倍数 特 征 7、11、13 末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数 4． 整除性质

① ② ③ ④

如果

如果如果如果

c|a、c|b，那么c|(a?b)。 bc|a，那么b|a，c|a。

b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。 c|b,b|a,那么c|a.

⑤ a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。

5． 带余除法

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r，0?r＜b,使得a=b×q+r

当r=0时，我们称a能被b整除。

当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。用带余数除式又可以表示为a÷b=q??r, 0?r＜b a=b×q+r 6. 唯一分解定理

任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即

n= p1a1× p2a2×...×pkak

7. 约数个数与约数和定理

设自然数n的质因子分解式如n= p1a1× p2a2×...×pkak那么： n的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)

n的所有约数和：（1+P1+P12+?p1a1）（1+P2+P22+?p2a2）?（1+Pk+Pk2+?pkak） 8. 同余定理

① 同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模

m同余，用式子表示为a≡b(mod m)

②若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。 ③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。

④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。 ⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。

9．完全平方数性质

①平方差： A2-B2=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B， A-B同奇偶性。 ②约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。 约数个数为3的是质数的平方。

③质因数分解：把数字分解，使他满足积是平方数。 ④平方和。

10．孙子定理（中国剩余定理） 11．辗转相除法

12．数论解题的常用方法：

枚举、归纳、反证、构造、配对、估计

三、 几何图形

1． 平面图形

⑴多边形的内角和

N边形的内角和=(N-2)×180° ⑵等积变形（位移、割补）

① 三角形内等底等高的三角形

② 平行线内等底等高的三角形 ③ 公共部分的传递性

④ 极值原理（变与不变）

⑶三角形面积与底的正比关系

S1︰S2 =a︰b ； S1︰S2=S4︰S3 或者S1×S3=S2×S4 ⑷相似三角形性质（份数、比例）

①

aA?bB?cC?hH ; S1︰S2=a2︰A2

②S1︰S3︰S2︰S4= a︰b︰ab︰ab ; S=（a+b） ⑸燕尾定理 S△ABG：S△AGC＝S△BGE：S△GEC＝BE：EC； S△BGA：S△BGC＝S△AGF：S△GFC＝AF：FC； S△AGC：S△BCG＝S△ADG：S△DGB＝AD：DB； ⑹差不变原理 BDEGCA2

22

F 知5-2=3，则圆点比方点多3。 ⑺隐含条件的等价代换

例如弦图中长短边长的关系。 ⑻组合图形的思考方法

① 化整为零 ② 先补后去 ③ 正反结合

2． 立体图形

⑴规则立体图形的表面积和体积公式 ⑵不规则立体图形的表面积

整体观照法

⑶体积的等积变形

①水中浸放物体：V升水=V物 ②测啤酒瓶容积：V=V空气+V水

⑷三视图与展开图

最短线路与展开图形状问题

⑸染色问题

几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系。

四、 典型应用题

1． 植树问题

①开放型与封闭型 ②间隔与株数的关系

2． 方阵问题

外层边长数-2=内层边长数

（外层边长数-1）×4=外周长数 外层边长数2-中空边长数2=实面积数

3． 列车过桥问题

①车长+桥长=速度×时间

②车长甲+车长乙=速度和×相遇时间 ③车长甲+车长乙=速度差×追及时间

列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题 车长=速度和×相遇时间

车长=速度差×追及时间

4． 年龄问题

差不变原理 5． 鸡兔同笼

假设法的解题思想 6． 牛吃草问题

原有草量=（牛吃速度-草长速度）×时间 7． 平均数问题