高中数学课程
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计( )
A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D.甲、乙两种水稻分蘖整齐不能比较 【解析】 ∵D(X甲)>D(X乙)， ∴乙种水稻比甲种水稻整齐. 【答案】 B
2.设二项分布B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数n，p的值为( )
A.n＝4，p＝0.6 C.n＝8，p＝0.3
B.n＝6，p＝0.4 D.n＝24，p＝0.1
【解析】 由题意得，np＝2.4，np(1－p)＝1.44， ∴1－p＝0.6，∴p＝0.4，n＝6. 【答案】 B
1
3.已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝3,6,9.则D(X)等于( )
3
【导学号：62980057】
A.6 C.3
B.9 D.4
111
【解析】 E(X)＝3×＋6×＋9×＝6.
333111
D(X)＝(3－6)2×＋(6－6)2×＋(9－6)2×＝6.
333【答案】 A
4.同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D(ξ)＝( )
1
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15A. 85C. 2
15B. 4D.5
1111
10，?， 【解析】 两枚硬币同时出现反面的概率为×＝，故ξ～B?4??2241151
1－?＝.故选A. 因此D(ξ)＝10××?4?4?8【答案】 A 5.已知X的分布列为
X P －1 1 20 1 31 1 61231则①E(X)＝－，②D(X)＝，③P(X＝0)＝，其中正确的个数为( )
3273A.0 C.2
B.1 D.3
1111
【解析】 E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，故①正确；
2363
11111151
－1＋?2×＋?0＋?2×＋?1＋?2×＝，故②不正确；③P(X＝0)＝显然正D(X)＝?3?2?3?3?3?69?3确.
【答案】 C 二、填空题
1
6.随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.
5【解析】 设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b， 1??a＝5，?5＋a＋b＝1，则?解得?1?a＋2b＝1，b＝??5，1312所以D(ξ)＝＋×0＋×1＝.
55552
【答案】
5
7.设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________.
【解析】 由独立重复试验的方差公式可以得到
3
2
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D(ξ)＝np(1－p)≤n?
?p＋1－p?2n111
等号在p＝1－p＝时成立，所以D(ξ)max＝100××?＝4，222?2?
＝25，D?ξ?max＝25＝5.
1
【答案】 5
2
8.一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为________.
【解析】 设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X，所得的分数(成绩)为Y，则Y＝4X.
由题知X～B(25,0.6)，
所以E(X)＝25×0.6＝15，D(X)＝25×0.6×0.4＝6， E(Y)＝E(4X)＝4E(X)＝60，D(Y)＝D(4X)＝42× D(X)＝16×6＝96，
所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96. 【答案】 60,96 三、解答题
9.海关大楼顶端镶有A、B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下：
X1 P
X2 P －2 0.1 －1 0.2 0 0.4 1 0.2 2 0.1 －2 0.05 －1 0.05 0 0.8 1 0.05 2 0.05 根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量. 【解】 ∵E(X1)＝0，E(X2)＝0，∴E(X1)＝E(X2).
∵D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5；
D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2. ∴D(X1) 3 高中数学课程 由上可知，A面大钟的质量较好. 10.袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4).现从袋中任取一球，X表示所取球的标号. (1)求X的分布列、期望和方差； (2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值. 【解】 (1)X的分布列为： X P 0 1 21 1 202 1 103 3 204 1 511131∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5. 22010205 11131 D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝ 220102052.75. (2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，得a＝±2. 又∵E(Y)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2； 当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4. ???a＝2，?a＝－2， ?∴或?即为所求. ?b＝－2???b＝4 [能力提升] 2141.若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1＜x2，又已知E(X)＝，D(X) 3332 ＝，则x1＋x2的值为( ) 9 5A. 3C.3 214 【解析】 ∵E(X)＝x1＋x2＝. 333 42412 －x1?2×＋?－x2?2×＝. ∴x2＝4－2x1，D(X)＝??3?3?3?39 7 B. 311D. 3 ??x1＝1， ∵x1＜x2，∴?∴x1＋x2＝3. ??x2＝2， 【答案】 C 2?k?1?n－k ?2.设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ckn3·3????，k＝0,1,2，…，n，且E(ξ)＝24，则 4 高中数学课程 D(ξ)的值为( ) A.8 2C. 9 B.12 D.16 2n，?， 【解析】 由题意可知ξ～B??3?2 ∴n＝E(ξ)＝24，∴n＝36. 3222 1－?＝×36＝8. 又D(ξ)＝n××?3?93?【答案】 A 3.变量ξ的分布列如下： ξ P －1 a 0 b 1 c 1其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝，则D(ξ)的值是________. 3【解析】 由a，b，c成等差数列可知2b＝a＋c， 12 又a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝，a＋c＝. 33111 又E(ξ)＝－a＋c＝，∴a＝，c＝， 362故分布列为 ξ P －1 1 60 1 31 1 21111115－1－?2×＋?0－?2×＋?1－?2×＝. ∴D(ξ)＝?3?6?3?3?3?29?5 【答案】 9 4.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图2-3-3所示. 图2-3-3 5 高中数学课程 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立. (1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率； (2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X). 【解】 (1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个.”因此 P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P(A2)＝0.003×50＝0.15， P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108. (2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为 3 P(X＝0)＝C03(1－0.6)＝0.064， P(X＝1)＝C10.6(1－0.6)2＝0.288， 3·P(X＝2)＝C20.62(1－0.6)＝0.432， 3·P(X＝3)＝C30.63＝0.216， 3·则X的分布列为 X P 0 0.064 1 0.288 2 0.432 3 0.216 因为X～B(3,0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8， 方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72. 6
高中数学选修2-3分层测评16含答案
