第1课时 函数及其表示
[基础题组练]
1
1.函数y=的定义域为( )
ln(x-1)A.(1,+∞) C.(1,2)∪(2,+∞)
B.[1,+∞) D.(1,2)∪[3,+∞)
解析:选C.由ln(x-1)≠0,得x-1>0且x-1≠1.由此解得x>1且x≠2,即函数y=1
的定义域是(1,2)∪(2,+∞).
ln(x-1)
?1?2.已知f?x-1?=2x-5,且f(a)=6,则a等于( ) ?2?
7
A.- 44C. 3
7B. 44D.-
3
1
解析:选B.令t=x-1,则x=2t+2,
2所以f(t)=2(2t+2)-5=4t-1, 7
所以f(a)=4a-1=6,即a=.
4
??x-2(x≤0),
3.(2020·江西南昌一模)设函数f(x)=?
?f(x-3)(x>0),?
2
x则f(5)的值为( ) A.-7 C.0
B.-1 1D. 2
12-1
解析:选D.f(5)=f(5-3)=f(2)=f(2-3)=f(-1)=(-1)-2=.故选D.
2
?1+x?=x+1+1,则f(x)等于( )
4.已知f??x2x?x?
A.(x+1)(x≠1) C.x-x+1(x≠1)
2
2
2
2
B.(x-1)(x≠1) D.x+x+1(x≠1) 2
2
2
?1+x?=x+1+1=?x+1?-x+1+1,令x+1=t(t≠1),则f(t)=t2解析:选C.f????x2x?x?xx?x?
-t+1,即f(x)=x-x+1(x≠1).
1
2
1??,x>1,
5.设函数f(x)=?x则f(f(2))= ,函数f(x)的值域是 .
??-x-2,x≤1,1
解析:因为f(2)=,
2
15?1?所以f(f(2))=f??=--2=-. 22?2?当x>1时,f(x)∈(0,1), 当x≤1时,f(x)∈[-3,+∞), 所以f(x)∈[-3,+∞). 5
答案:- [-3,+∞)
2
6.若函数f(x)在闭区间[-1,2]上的图象如图所示,则此函数的解析式为 .
1
解析:由题图可知,当-1≤x<0时,f(x)=x+1;当0≤x≤2时,f(x)=-x,所以
2
x+1,-1≤x<0,??
f(x)=?1
-x,0≤x≤2.??2
x+1,-1≤x<0,??答案:f(x)=?1
-x,0≤x≤2??2
1??x+1,x≤0,
7.已知f(x)=?2则使f(x)≥-1成立的x的取值范围是 .
??-(x-1)2,x>0,
x≤0,????x>0,
解析:由题意知?1或? 2
?-(x-1)≥-1,x+1≥-1???2
解得-4≤x≤0或0<x≤2,故x的取值范围是[-4,2]. 答案:[-4,2]
??ax+b,x<0,
8.设函数f(x)=?x且f(-2)=3,f(-1)=f(1).
?2,x≥0,?
2
(1)求f(x)的解析式; (2)画出f(x)的图象.
?-2a+b=3,?
解:(1)由f(-2)=3,f(-1)=f(1)得?解得a=-1,b=1,所以f(x)
??-a+b=2,??-x+1,x<0,
=?x ?2,x≥0.?
(2)f(x)的图象如图所示.
[综合题组练]
1.(2020·海淀期末)下列四个函数:①y=3-x;②y=2
x-1
2
(x>0);③y=x+2x-10;
x(x≤0),??④y=?1其中定义域与值域相同的函数的个数为( )
(x>0).??xA.1 C.3
B.2 D.4
x-1
解析:选B.①y=3-x的定义域与值域均为R,②y=2(x>0)的定义域为(0,+∞),
x(x≤0),???1?③y=x2+2x-10的定义域为R,
值域为?,+∞?,值域为[-11,+∞),④y=?1
?2?(x>0)??x的定义域和值域均为R.所以定义域与值域相同的函数是①④,共有2个,故选B.
2.(创新型)设f(x),g(x)都是定义在实数集上的函数,定义函数(f·g)(x):?x∈R,
???x,x>0,?e,x≤0,(f·g)(x)=f(g(x)).若f(x)=?2g(x)=?则( )
?x,x≤0,?ln x,x>0,??
xA.(f·f)(x)=f(x) C.(g·f)(x)=g(x)
B.(f·g)(x)=f(x) D.(g·g)(x)=g(x)
3
??f(x),f(x)>0,
解析:选A.对于A,(f·f)(x)=f(f(x))=?2当x>0时,f(x)=
?f (x),f(x)≤0,?
2
x>0,(f·f)(x)=f(x)=x;当x<0时,f(x)=x2>0,(f·f)(x)=f(x)=x;当x=0时,(f·f)(x)
=f (x)=0=0,因此对任意的x∈R,有(f·f)(x)=f(x),故A正确,选A.
22
?2+1,x≤0,
3.(2020·宁夏银川一中一模)已知函数f(x)=?则f(x+1)-9≤0的
-x,x>0,?
解集为 .
-x?2+1,x≤0,
解析:因为f(x)=?
?-x,x>0,
??x≤-1,
所以当x+1≤0时,?-(x+1)解得-4≤x≤-1;
?2-8≤0,?
-x?x>-1,
当x+1>0时,?解得x>-1.
?-x+1-9≤0,
综上,x≥-4,即f(x+1)-9≤0的解集为[-4,+∞). 答案:[-4,+∞)
4.(创新型)设函数f(x)的定义域为D,若对任意的x∈D,都存在y∈D,使得f(y)=-f(x)成立,则称函数f(x)为“美丽函数”,下列所给出的几个函数:
①f(x)=x;②f(x)=
2
1
; x-1
③f(x)=ln(2x+3);④f(x)=2sin x-1. 其中是“美丽函数”的序号有 .
解析:由已知,在函数定义域内,对任意的x都存在着y,使x所对应的函数值f(x)与y所对应的函数值f(y)互为相反数,即f(y)=-f(x).故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“美丽函数”的条件.
①中函数的值域为[0,+∞),值域不关于原点对称,故①不符合题意; ②中函数的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域关于原点对称,故②符合题意; ③中函数的值域为(-∞,+∞),值域关于原点对称,故③符合题意;
④中函数f(x)=2sin x-1的值域为[-3,1],不关于原点对称,故④不符合题意.故本题正确答案为②③.
答案:②③
4