第1课时 函数及其表示
[基础题组练]
1
1．函数y＝的定义域为( )
ln（x－1）A．(1，＋∞) C．(1，2)∪(2，＋∞)
B．[1，＋∞) D．(1，2)∪[3，＋∞)
解析：选C.由ln(x－1)≠0，得x－1>0且x－1≠1.由此解得x>1且x≠2，即函数y＝1
的定义域是(1，2)∪(2，＋∞)．
ln（x－1）
?1?2．已知f?x－1?＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于( ) ?2?
7
A．－ 44C. 3
7B. 44D．－
3
1
解析：选B.令t＝x－1，则x＝2t＋2，
2所以f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1， 7
所以f(a)＝4a－1＝6，即a＝.
4
??x－2（x≤0），
3．(2020·江西南昌一模)设函数f(x)＝?
?f（x－3）（x>0），?
2
x则f(5)的值为( ) A．－7 C．0
B．－1 1D. 2
12－1
解析：选D.f(5)＝f(5－3)＝f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝(－1)－2＝.故选D.
2
?1＋x?＝x＋1＋1，则f(x)等于( )
4．已知f??x2x?x?
A．(x＋1)(x≠1) C．x－x＋1(x≠1)
2
2
2
2
B．(x－1)(x≠1) D．x＋x＋1(x≠1) 2
2
2
?1＋x?＝x＋1＋1＝?x＋1?－x＋1＋1，令x＋1＝t(t≠1)，则f(t)＝t2解析：选C.f????x2x?x?xx?x?
－t＋1，即f(x)＝x－x＋1(x≠1)．
1
2
1??，x>1，
5．设函数f(x)＝?x则f(f(2))＝ ，函数f(x)的值域是 ．
??－x－2，x≤1，1
解析：因为f(2)＝，
2
15?1?所以f(f(2))＝f??＝－－2＝－. 22?2?当x>1时，f(x)∈(0，1)， 当x≤1时，f(x)∈[－3，＋∞)， 所以f(x)∈[－3，＋∞)． 5
答案：－ [－3，＋∞)
2
6．若函数f(x)在闭区间[－1，2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为 ．
1
解析：由题图可知，当－1≤x<0时，f(x)＝x＋1；当0≤x≤2时，f(x)＝－x，所以
2
x＋1，－1≤x<0，??
f(x)＝?1
－x，0≤x≤2.??2
x＋1，－1≤x<0，??答案：f(x)＝?1
－x，0≤x≤2??2
1??x＋1，x≤0，
7．已知f(x)＝?2则使f(x)≥－1成立的x的取值范围是 ．
??－（x－1）2，x＞0，
x≤0，????x＞0，
解析：由题意知?1或? 2
?－（x－1）≥－1，x＋1≥－1???2
解得－4≤x≤0或0＜x≤2，故x的取值范围是[－4，2]． 答案：[－4，2]
??ax＋b，x<0，
8．设函数f(x)＝?x且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．
?2，x≥0，?
2
(1)求f(x)的解析式； (2)画出f(x)的图象．
?－2a＋b＝3，?
解：(1)由f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)得?解得a＝－1，b＝1，所以f(x)
??－a＋b＝2，??－x＋1，x<0，
＝?x ?2，x≥0.?
(2)f(x)的图象如图所示．
[综合题组练]
1．(2020·海淀期末)下列四个函数：①y＝3－x；②y＝2
x－1
2
(x>0)；③y＝x＋2x－10；
x（x≤0），??④y＝?1其中定义域与值域相同的函数的个数为( )
（x>0）.??xA．1 C．3
B．2 D．4
x－1
解析：选B.①y＝3－x的定义域与值域均为R，②y＝2(x>0)的定义域为(0，＋∞)，
x（x≤0），???1?③y＝x2＋2x－10的定义域为R，
值域为?，＋∞?，值域为[－11，＋∞)，④y＝?1
?2?（x>0）??x的定义域和值域均为R.所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个，故选B.
2．(创新型)设f(x)，g(x)都是定义在实数集上的函数，定义函数(f·g)(x)：?x∈R，
???x，x>0，?e，x≤0，(f·g)(x)＝f(g(x))．若f(x)＝?2g(x)＝?则( )
?x，x≤0，?ln x，x>0，??
xA．(f·f)(x)＝f(x) C．(g·f)(x)＝g(x)
B．(f·g)(x)＝f(x) D．(g·g)(x)＝g(x)
3
??f（x），f（x）>0，
解析：选A.对于A，(f·f)(x)＝f(f(x))＝?2当x>0时，f(x)＝
?f （x），f（x）≤0，?
2
x>0，(f·f)(x)＝f(x)＝x；当x<0时，f(x)＝x2>0，(f·f)(x)＝f(x)＝x；当x＝0时，(f·f)(x)
＝f (x)＝0＝0，因此对任意的x∈R，有(f·f)(x)＝f(x)，故A正确，选A.
22
?2＋1，x≤0，
3．(2020·宁夏银川一中一模)已知函数f(x)＝?则f(x＋1)－9≤0的
－x，x>0，?
解集为 ．
－x?2＋1，x≤0，
解析：因为f(x)＝?
?－x，x>0，
??x≤－1，
所以当x＋1≤0时，?－（x＋1）解得－4≤x≤－1；
?2－8≤0，?
－x?x>－1，
当x＋1>0时，?解得x>－1.
?－x＋1－9≤0，
综上，x≥－4，即f(x＋1)－9≤0的解集为[－4，＋∞)． 答案：[－4，＋∞)
4．(创新型)设函数f(x)的定义域为D，若对任意的x∈D，都存在y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，则称函数f(x)为“美丽函数”，下列所给出的几个函数：
①f(x)＝x；②f(x)＝
2
1
； x－1
③f(x)＝ln(2x＋3)；④f(x)＝2sin x－1. 其中是“美丽函数”的序号有 ．
解析：由已知，在函数定义域内，对任意的x都存在着y，使x所对应的函数值f(x)与y所对应的函数值f(y)互为相反数，即f(y)＝－f(x)．故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“美丽函数”的条件．
①中函数的值域为[0，＋∞)，值域不关于原点对称，故①不符合题意； ②中函数的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域关于原点对称，故②符合题意； ③中函数的值域为(－∞，＋∞)，值域关于原点对称，故③符合题意；
④中函数f(x)＝2sin x－1的值域为[－3，1]，不关于原点对称，故④不符合题意．故本题正确答案为②③.
答案：②③
4
2021版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第1讲函数及其表示高效演练分层突破文新人教A版
