本科概率论与数理统计作业卷(一)
一、填空题
1.设随机事件A,B及其和事件A?B的概率分别是0.4,0.3和0.6.若B表示B的对立事件，那么积事件AB的概率P(AB)?____.
解因为事件A与B同时发生时,事件C必发生就意味着AB?C,因此P(C)?P(AB)又由P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)所以P(C)?P(A)?P(B)?P(A?B)?P(A)?P(B)?1所以应选(C).
2.已知A、B两个事件满足条件P(AB)?P(AB)，且P(A)?p,则P(B)?____.
解?A?B?AB,P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)又P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(AB)所以应填1?p.3.设P(A)?P(B)?P(C)?概率为______.11,P(AB)?0，P(AC)?P(BC)?,则事A,B,C都不发生的48?P(A)?P(B)?1,即P(B)?1?p分析问题是求P(ABC),为了与已知条件联系起来，由概率性质有P(ABC)?1?P(A?B?C),而P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC).于是问题归结为求P(ABC),注意到P(AB)?0, ABC?AB,即有P(ABC)?0,通过计算得P(ABC)?故应填7.127,124.把10本书随意放在书架上，则其中指定的3本书放在一起的概率为_____. 3!?8!解把3本书视为一组，与另外7本全排列，则指定的3本书放在一起的概率为10!
1应填.15二、选择题
1.当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则下列结论正确的是(A)P(C)?P(AB)(C)P(C)?P(A)?P(B)?1(B)P(C)?P(A)?P(B)(D)P(C)?P(A)?P(B)?1
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解因为事件A与B同时发生时,事件C必发生就意味着AB?C,又由P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)因此P(C)?P(AB).所以应选(C).所以P(C)?P(A)?P(B)?P(A?B)?P(A)?P(B)?1
2.掷两枚骰子，则最小点是2的概率为1124 (A)(B)(C)(D)4657解事件总数为6?6?36,两点皆为2或一个点为2、另一个点大于2, 91111?C2?C4?9，故P??.3643.在数集{1,2,3,4,5}红依次取出三个数，记A?\取出三个数依次为1,2,3\(I)若依次取出，取后放回，此时记p1?P(A);(II)若依次取出，取后不放回，此时记p1?P(A);(II)若依次取出，取后不放回，此时记p2?P(A)，则(A)p1?p2(C)p1?p2解(A).
(B)p1?p2(D)无法比较p1，p2的大小无论哪一种取法有利于A的基本事件只有一个.而“取后放回”
试验的基本事件总数多于“取后不放回”，因此P1?P2,选择(A).事实上，p1?P(A)?1,35p2?P(A)?11?3?p1.5?4?354.袋中装有2个伍分，3个贰分，5个壹分的硬币，任取其中5个，则总币值超过一角的概率为(A)14(B)12(C)23(D)34
解12C2?C32?C71p??. 52C10三、计算证明题
1.一批产品共200个，有6个废品，求：(1)这批产品的废品率；(2)任取3个恰有1个是废品的概率；(3)任取3个全非废品的概率。6解(1)P(A)??0.03200(3)P(A0)?CC3194320012C6C194(2)P(A1)??0.08553C200
?0.9122word文档 可自由复制编辑
2.一条电路上安装有甲、乙两根保险丝，当电流强度超过一定值时，它们单独烧断的概率分别为0.8和0.9，同时烧断的概率为0.72，求电 流强度超过这一定值时，至少有一根保险丝被烧断的概率.解设A、B分别表示甲、乙保险丝被烧断，由性质6得所求概率为P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.8?0.9?0.72?0.98
3.从0，1，2，?，9等十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：A1?{三个数字中不含0和5}，A2?{三个数字中含0但不含5}解从0，1，2，?，9十个数字中任意选出三个不同数字的所有选法即从十个数3字中任意选三个不同数字的全部组合数为C10，它就是所研究的概率空间中的全
部基本数，而A1所含的基本条件数为C83，它是从0，1，2，?，9等八个数字中任意选三个不同数字的组合数.因此P(A1)?C833C10?715同理，A2所含的基本事件数为C82，因为三个数字中有一个一定是0，而另2个不同数字必须从1，2，3，4，5，6，7，8，9八个数字中任意选取，所以P(A2)?C823C10?7301的概率.44从区间(0,1)内任取两个数，求这两个数的积小于
1设两个数分别为x和y,有0?x?1,0?y?1,需要求事件{xy?}的概率,4把(x,y)看作平面上的一个点,则(x,y)在边长为1的正方形内等可能取值解1.正方形面积为1.满足xy?的全体点(x,y)构成平面区域D,D的面积为41111S?1??1(1?)dx??ln24x4241S11则P{xy?}???ln2.4142
本科概率论与数理统计作业卷(二)
一、填空题
11.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生 9的概率与B发生A不发生的概率相等，则P(A)?____.word文档 可自由复制编辑
解1由题设A、B相互独立，即P(AB)?P(A)P(B),且P(AB)?,9P(AB)?P(AB),即有1?P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)??9???P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB)1?1?1?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?2也即?9?1?2P(A)?P(A)?9?P(A)?P(B)?142解得P(A)?1??,P(A)?或P(A)?3332由于P(A)?1,故P(A)?3
2.掷一不均匀硬币，已知在4次投掷中至少一次出现正面朝上的概率 80为，则在一次投掷中正面朝上的概率为_____.81解设一次投掷中正面朝上的概率为p,则由题意80100P(A)?C4p(1?p)4?,即(1?p)4?,得81812
p?.33.一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，
抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为______.分析设A表示事件{第一次抽取的是正品}B表示事件{第二次抽取的是次品}51则P(A)?,P(A)?6621且P(B|A)?,P(B|A)?111152111且全概率公式知P(B)?P(A)·P(B|A)?P(A)P(B|A)?·?·?61161161故应填.64.设在一次试验中，事件A发生的概率为p，现进行n次独立试验，则至少发生一次的概率为_________.至多发生一次的概率为_________.解设B表示事件{n次独立实验中，事件A至少发生一次}，C表示事件{n次独立实验中，事件A至多发生一次}，P(B)?1?P(B)?1?(1?p)n所以应分别填nnP(C)?(1?p)n?np(1?p)n?1n?11?(1?p)和(1?p)?np(1?p)
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二、选择题
1.将一枚骰子先后掷两次，设X1,X2分别表示先后掷出的点数.记A?{X1＋X2＝10}，B?{X1?X2}，则P(B|A)?(A)13(B)14(C)25(D)56
解事件A有三种情况：4,6;5,5;6,4.事件B只有一种情况：6,4故应选(A)
2.设A与B为对立事件，P(A)?0，P(B)?0，则错误的是(A)P(AB)?0(C)P(A|B)?0解应选(D)3.设A、B、C三个事件两两独立，而A、B、C相互独立的充分必要条件是(A)(C)A与BC独立AB与AC独立(B)(D)AB与A?C独立A?B与A?C独立(B)P(A?B)?1(D)P(B|A)?0
解：由P(AB)＝P(A)?P(B)，P(AC)＝P(A)?P(C)，P(BC)＝P(B)?P(C)知A，B，C互相独立?P(ABC)＝P(A)?P(B)?P(C)?P(ABC)＝P(A)?P(BC) ?A与BC独立。故应选(A)4.仓库中有不同工厂生产的灯管，其中甲厂生产的为1000支，次品率为2%;乙厂生产的为2000支，次品率为3%;丙厂生产的为3000支，次品率为4%.如果从中随机地抽取一支，发现为次品，则该次品是甲厂产 品的概率为___.(A)10%(B)20%(C）30%(D)15%解(A)A1,A2,A3分别表示抽得灯管来自甲乙丙三厂，C表示抽得灯管为次品,于是123,P(A2)?,P(A3)?666 P(A1)P(C|A1)?0.1P(A1)P(C|A1)?P(A2)P(C|A2)?P(A3)P(C|A3)P(C|A1)?0.02,P(C|A2)?0.03,P(C|A3)?0.04P(A1)?由贝叶斯公式得P(A1|C)?三、计算、证明题
1.设某种动物由出生算起活20年以上的概率为0.8，活25年以上的概率为0.4.如果现在有一只20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的 概率是多少？word文档 可自由复制编辑
解设事件B?“能活20年以上”，A?“能活25年以上”.按题意，P(B)?0.8,由于A?B,所以BA?A,因此P(AB)?P(A)?0.4, 由概率的定义，得P?A|B??P(AB)0.4??0.5.P(B)0.82.甲、乙、丙三门高射炮向同一架飞机射击，设甲、乙、丙射中飞机的概率分别是0.4，0.5，0.7.又设若只有一门炮射中，飞机坠毁的概率为0.2；若有两门炮射中，飞机坠毁的概率为0.6；若三门炮都射中，飞机必坠毁，试求飞机坠毁的概率.解设B?“飞机坠毁”，Ai?“i门炮射中飞机”(i?0,1,2,3).显然，A0,A1,A2,A3构成完备事件组.三门高射炮各自射击飞机，射中与否相互独立，按加法公式及乘法公式，得P(A0)?(1?0.4)?(1?0.5)?(1?0.7)?0.09P(A1)?0.4?(1?0.5)?(1?0.7)?(1?0.4)?0.5?(1?0.7)?(1?0.4)?(1?0.5)?0.7?0.36P(A2)?0.4?0.5?(1?0.7)?0.4?(1?0.5)?0.7?(1?0.4)?0.5?0.7?0.41P(A3)?0.4?0.5?0.7?0.14再由题意知P(B|A0)?0,P(B|A1)?0.2P(B|A2)?0.6,P(B|A3)?1利用全概率公式，得P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?0.09?0?0.36?0.2?0.41?0.6?0.14?1?0.458i?03
3.甲、乙两个乒乓球运动员进单打比赛，如果每赛一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4.比赛即可采取三局两胜制，也可采取五局三胜制，问采取哪 种赛制对甲更有利？解(1)采用三局两胜制.设A1?“甲净胜二局”，A2?“前两局甲、乙各胜一局，P(A1)?0.6?0.362第三局甲胜”，A?“甲胜”，则A?A1?A2,而P(A2)?(0.6?0.4)?2?0.2882
所以，有P(A)?P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)?0.36?0.288?0.648(2)采用五局三胜制，设B?“甲胜”，B1?“前三局甲胜”，B2?“前三局中甲胜两局，乙胜一局，第四局甲胜”，B3?“前四局中甲、乙各胜两局，第五局甲胜”，则B1,B2,B3互不相容，且B?B1?B2?B3.由题设知P(B1)?0.63?0.216P(B2)?C32?0.62?0.4?0.6?0.2592P(B3)?C4?0.62?0.42?0.6?0.207P(B)?P(B1?B2?B3)?P(B1)?P(B2)?P(B3)?0.216?0.259?0.207?0.682所以，采用五局三胜制时对甲更有利.word文档 可自由复制编辑
本科概率论与数理统计作业卷(三)
一、填空题
??101.设有随机变量X~?11??361?1?,则X的分布函数为_______.?2?当x??1时，F(x)?P{X?x}?0;1当?1?x?0时，F(x)?P{X?x}?3111当0?x?1时，F(x)?P{X?x}???;362111当x?1时，F(x)?P{X?x}????1362整理，得?0,??1,?3F(x)???1,?2?1,?当x??1当?1?x?0当0?x?1当x?1分析2.如果离散型随机变量X的分布律如下表所示，则C?_____.
X
0 1 2 3
P
31111 C2C3C4C解根据x1?0?P(xi)?1得：C?25. 123.已知X的分布律如下表所示
x
0 1 2 3 4 5
P{X?x}
111121
91263129
则Y?(X?2)2的分布律为
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分析记g(x)?(x?2)2.由于g(0)?g(4)?4,g(1)?g(3)?1,g(2)?0,g(5)?9,1因此P{Y?0}?P{X?2}?,3111P{Y?1}?P{X?1}?P{X?3}???,6124 1211P{Y?4}?P{X?0}?P{X?4}???,129361P{Y?9}?P{X?5}?9故应填 Y 0 1 4 9
P{Y?y}
11111 34936二、选择题
1.设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数，为使F(x)?aF1(x)?bF2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取3222(A)a?,b??(B)a?,b?55331313(C)a??,b?(D)a?,b??2222分析x???根据分布函数的性质：limF(x)?1,因此有x???x???x???limF(x)?alimF1(x)?blimF2(x)即1?a?b
故应选(A).2.设离散型随机变量X的分布律为：P{X?k}?b?k,(k?1,2,3,?),且b?0，则?为(A)??0的任意实数(C)??11?b??(B)??b?1(D)??k
1b?1(1??n)?Sn??b??b·1??k?1nk解因为?P{X?k}??b??1k?1k?1(1??n)?即limSn?limb·??1于是可知,当??1时,b·?1 n??n??1??1??1所以???1,(因b?0)所以应选(C).1?b三、计算证明题
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1.一个袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3个球中的最大号码，试求X的概率分布.解X的可能取值为3,4,5.11?310C5事件{X?3},只能是取出的3只球号码分布为1,2,3,只有一种取法，所以P{X?3}?事件{X?4},意味着3只球中最大号码是4，另外2个号码可在1，2，3中任取2只，共有C32种取法，故C323P{X?4}?3?C510事件{X?5},意味着3只球中最大号码是5，另外2个号码可在1，2，3,4中任取22只，共有C2?6种取法，故2C43P{X?5}?3?C55
从而，X的概率分布是 X 3 4 5
313 P
510102.一汽车沿一街道行使，需要通过三个均设有红绿灯信号的路口，每个信号灯为红和绿与其它信号为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示时间相等，以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求X的概率分布.解由题设知X的可能值为0,1,2,3,设Ai(i?1,2,3)表示\汽车在第i个路口首次遇到红灯\，A1,A2,A3相互独立，且P(Ai)?P(Ai)?P{X?0}?P(A1)?121,于是2122
P{X?1}?P(A1A2)?P(A1)P(A2)?1231P{X?3}?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?32故分布律为P{X?2}?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)? X 0 1 2 3 P
1111 2 3 3 2222word文档 可自由复制编辑
3.设随机变量X的可能取值为?1,0,1,且取这三个值的概率之比为1:2:3,试求X的概率分布.1???10?X~??ppp3?2?1?依题意p1:p2:p3?1:2:3解记即p1?2p1?3p1?1??10X~?11??631?1??2?故
而p1?p2?p3?1p3?1 211p1?，p2?,63本科概率论与数理统计作业卷(四)
一、填空题
1.设随机变量X服从泊松分布，并且已知P?X?1??P?X?2?,则P?X?4?＝______.解由题设,X的分布律为:P{X?k}??kk!e??,k?0,1,2,???本题的关键为先要求出参数?的值.由P{X?1}?P{X?2}得?e因为??0,得??2,于是24?22?2P{X?4}?e?e?0.902.4!3??22e??,即?2?2??0?2，p?的二项分布，随机变量Y服从参数2.设随机变量X服从参数为为(3,p)的二项分布，若P?X?1??解5,则P?Y?1??__________.95200?P{X?1}?1?P{X?1}?1?C2p(1?p)2?1?(1?p)2,(1?p)? 9321900P{Y?1}?1?P{Y?1}?1?C3p(1?p)3?1?()3?32719所以应填.273.设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量Y?X2在(0,4)由概率分布密度fY(y)?_________.分析因为Y在(0,4)区间内的分布函数FY(y)为FY(y)?P{Y?y}?P{X?所以，fY?dFY(y)1?dy4yy}??y011dx?y22故应填14y
(0?y?4)word文档 可自由复制编辑
二、选择题
?2x,0?x?11.设随机变量X的概率密度为f(x)??，以Y表示对其他?0,1X的三次独立重复观察中事件{X?}出现的次数，则P{Y?2}?29739(A)(B)(C)(D)64646416解(A)11?1??3?9P{X?}??22xdx?，P{Y?2}?C32?????024?4??4?6412
2.设随机变量X具有对称的概率密度，即f(?x)?f(x),则对任意a?0,P(|X|?a)是(A)1?2F(a)(B)2F(a)?1??(C)2?F(a)?a??a(D)2[1?F(a)]解.(D)??(?x)??(x)?F(?a)???(x)dx???(x)dx?F(a)?F(?a)???(x)?1?F(?a)?1?F(a)????
?P(|x|?a)?1?P(|x|?a)?1?P(?a?x?a)?1?[F(a)?F(?a)]?1?[F(a)?(1?F(a))]?2[1?F(a)]3.设随机变量X与Y均服从正态分布,X~N(?,42),Y~N(?,52);记p1?P?X???4?,p2?P?Y???5?,则(B)对任何实数,都有p1?p2(D)对任何实数?,都有p1?p2(A)对任何实数?,都有p1?p2(C)只对?的个别值,才有p1?p2
解由于所以X??Y??~N(0,1),~N(0,1)45X??X????1}?P{?1}?44112?p1?P{??1e?t22dt
故2?p1?p2,而且与?的取值无关.1Y??p2?P{?1}?5??e?t22dt三、计算证明题
?A,?21.连续型随机变量X的密度函数为p(x)??1?x?0,?x?1其他
11求：(1)系数A；(2)X落在区间(?,)内的概率；(3)X的分布函数.22word文档 可自由复制编辑
解(1)因为?????1?1p(x)dx?1,故A1?x2?????p(x)dx??dx?Aarcsinx1?1?A(1?2??212?)?1?13由此得A?1?
11111(2)P{??X?}??21dx?arcsinx??22?1?x2212(3)设X的分布函数为F(x),当x??1时,F(x)?P{X?x}??x??p(t)dt??0dt?0??x当?1?x?1时,F(x)?P{X?x}?P{X??1}?P{?1?X?x}?1x111??0dt??dt??arcsinx???12??1?t2当x?1时,F(x)?P{X?x}?P{X??1}?P{?1?X?x}?P{1?X?x}??0dt?????11?11?1?t2dt??0dt?11x综合起来,得?0,??11F(x)???arcsinx,?2???1,当x??1当?1?x?1 当x?12.某地区的月降水量X（单位：mm）服从正态分布N(40,42),试求该地区连续10个月降水量都不超过50mm的概率.
解：设A＝“某月降水量不超过50mm”x?4050?40?)??(2.5)?0.993844观察10个月该地区降水量是否超过50mm，相当做10天贝努利试验P（A）＝P（x?50)?P（10P（Y＝10）＝0.9938＝0.9396
设Y＝“该地区降水量不超过50mm的月数”，则Y～B（10，0.9938）3.某地区一个月内发生交通事故的次数X服从参数?的泊松分布，即X~P(?).据统计资料知，一个月内发生8次交通事故的概率是发生10次事故概率的2.5倍.(1)求1个月内发生8次、10次交通事故的概率；(2)求1个月内至少发生1次交通事故的概率；(3)求1个月内最多发生2次交通事故的概率.
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解这是泊松分布的应用问题X~P(?),P{X?k}??ke??k!,k?0,1,2,?.这里?是未知的,关键是求出?.据题意有8!解出?2?36,??6即P{X?8}?2.5P{X?10}?2.5??8e???10e??10!68e?6610e?6(1)P{X?8}??0.1033P{X?10}??0.04138!10!(2)P{X?0}?e??e?10?0.00248P{X?1}?1?P{X?0}?1?0.00248?0.9975(3)P{X?1}?6e?6?0.0148762e?6P{X?2}??0.044622!P{X?2}?P{X?0}?P{X?1}?P{X?2}?0.00248?0.01487?0.04462?0.0620
?e?x，x?04.设随机变量X概率密度为fX(x)??,求随机变量Y?eX的概率密度fY(y)x?0?0,解先求出Y的分布函数，然后求导数?0,FY(y)?P{Y?y}?P{eX?y}???P{X?lny},故y?1时，FY(y)?P{X?lny}??fY(y)?dFy(y)dy?1y2lny0y?1y?1
e?xdx因此?0,?fY(y)??1?y2,?y?1y?1
本科概率论与数理统计作业卷(五)
一、填空题
1.设X和Y为两个随机变量,且P{X?0,Y?0}?4?.则P{max(X,Y)?0}?_________.75解P{max(X,Y)?0}?P{X?0,或Y?0}?P{X?0}?P{Y?0}?P{X?0,Y?0}?.7word文档 可自由复制编辑
3,P{X?0}?P{Y?0}7
?e?y,y?0?2x,0?x?12.设随机变量X，Y的概率密度分别为fX(x)??，fY(y)??0,其他??0,其他又设X，Y相互独立，则?的二次方程?2?2X??Y?0具有实根的概率是______.?2xe?y,0?x?1,y?0;解由独立性(X,Y)的联合概率密度为f(x，y)??其他?0,又设A?{?:?2?2X??Y?0有实根}?{?:X2?Y?0},故P(A)?y?x2??f(x,y)dxdy???2xe?ydxdy??2xdx?e?ydy?e?1.D001x2
所以应填e?1.13.已知随机变量X与Y相互独立且都服从正态分布N(?,).如果2
1P{X?Y?1}?,则?＝______.21分析这是一个反问题，即由“p(X?Y?1)?”来确定分布中的未知参数?.2为此需首先要确立X?Y的分布，由题设知X?Y~N(2?,1),因此有
1?2?11P(X?Y?1)??()??1?2??0,??.122二、选择题
1.设相互独立的两个随机变量X，Y具有同一分布律，且X的分布律为X0111P22则随机变量Z?max{X,Y}的分布律为 (A)Z01(B)Z011113PP2244(C)Z01(D)Z01231112PP44444word文档 可自由复制编辑
解由于X与Y相互独立,所以P{X?i,Y?j}?P{X?i}?P{Y?j}于是YX1122221112222P{Z?i}?P{max(X,Y)?i}?P{X?i,Y?i}?P{X?i,Y?i}0??P{X?i,Y?k}??P{X?k,Y?i},i?0,1k?0k?0i?1i01P{Z?0}?P{max(X,Y)?0}?P(0,0)?122322
P{Z?1}?P{max(X,Y)?1}?P(1,0)?P(0,1)?P(1,1)?故Z?max{X,Y}的分布律为Z0113P44所以应选(B).2.设二维连续型随机变量(X1,X2)与(Y1,Y2)的联合密度分别为p(x,y),和g(x,y)，令f(x,y)?ap(x,y)?bg(x,y).要使函数f(x,y)是某个二维随机变量的联合密度，则a,b应满足(A)a?b?1(B)a?0,b?0(C)0?a?1,0?b?1解(D).
(D)a?0,b?0,且a?b?1????f(x,y)为密度函数?f(x,y)?0且??????f(x,y)dxdy?1,由此可推得1?a?b,所以选择(D).且ap(x,y)?bg(x,y)?0(?x,y?R).对于a?0,b?0,由p(x,y)?0,g(x,y)?0,得ap(x,y)?bg(x,y)?0,(?x,y?R).此式未必成立.如果a?0(或b?0),则对一切x,y有bg(x,y)?(?a)p(x,y),或ap(x,y)?(?b)g(x,y).
三、计算、证明题
1. 设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余值填入表中的空白处 解：
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Y y1 X 1 x1 () 24 x2 1 81 6 y2 1 8 y3 (1) 12P{X?xi}?pi? 1 () 431 () () 84P{Y?yi}11 () () ?p?j232.已知随机变量X1和X2的概率分布 3 () 4 1 X1P?101X20111111 P42422而且P{X1X2?0}?1.(1)求X1和X2的联合分布；(2)问X1和X2是否独立?为什么？解(1)由P{X1X2?0}?1，可见P{X1??1,X2?1}?P{X1?1,X2?1}?0易见P{X1??1,X2?0}?P{X1??1}?1;41;4P{X1?0,X2?1}?P{X2?1}?1;2P{X1?1,X2?0}?P{X1?1}?于是得X1和X2的联合分布111P{X1?0,X2?0}?1?(??)?0424X1X201?11401401140141 2121.P[X1?0}P{X2?0}?1?0, 401212?(2)由以上结果，可见P{X1?0,X2?0}?0,于是X1和X2不独立?e?y,0?x?y3.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)???0,其他 (1)求随机变量X的密度fx(x);(2)求概率P{X?Y?1}word文档 可自由复制编辑
解(1)x?0时,fX(x)??故??xe?ydy?e?xx?0时，fX(x)?0?e?x，x?0fX(x)??x?0?0,(2)P{X?Y?1}??1?e－2e－1?12x?y?1??f(x,y)dxdy??dx?1201?xxedy???[e－(1-x)－e－x]dx?y1204.设随机变量X与Y相互独立,且都在[0,a]上服从均匀分布,求它们的和Z?X?Y的分布密度?1?1,x?[0,a]??,0?x?a,0?y?af(x)??a，而X,Y独立，所以f(x,y)??a2??0, 其它?0,其它?FZ(z)?P{Z?z}?P{X?Y?z}?x?y?z解??f(x,y)dxdy?z?a2,0?z?a??2a?zf（z)?F（'z)??2,a?z?2a ZZ?a?0,其它??z?0?0,?1?2z2,0?z?a?2a＝?，故?1[a2?1(2a?z)2],0?z?a?a22?1,其它?本科概率论与数理统计作业卷(六)
一、 填空题
1.设随机变量X服从参数为1的指数分布，则数学期望E(X?e?2x)
?_______.解若读者熟悉指数分布的密度函数，并知道由X的密度函数求g(X)的数学期望一般方法，问题就迎刃而解了.因为X服从参数为1的指数分布，X的密度函数为?e?z，x?0fX(x)???0，x?0故E(X?e?2X)??(x?e?2x)f(x)dx????4(x?e?2x)e?xdx?.034所以应填.3????word文档 可自由复制编辑
2.设离散型随机变量X的分布律为：P{X?2k}?解E(X)??xkp(xk)??2k?k?1?2,k?1,2,?,则E(X)?_____.3k2?4.k33.已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布，即P{X?k} 2ke?2?,k?0,1,2,?，则随机变量Z?3X?2的数学期望EZ?_____.k!分析本题要求读者熟悉泊松分布的有关性质，并会利用数学期望的性质求随机变量线性函数的数学期望.由于X服从参数为2的泊松分布，则EX?2,所以EZ?E(3X?2)?3EX?2?4故应填4.
4.箱中有N只球，其中白球数是随机变量X，EX?n，则从箱中任取一球为白球的概率为_____.分析A表示“取到白球”，则k1P(A)??P{A|X?k}P{X?k}??·P{X?k}?Nk?0k?0Nn故应填.NNN?kP{X?k}?k?0N1nEX?.NN2则随机变量X?Y的数学期望EX?Y?__________.正态分布N(0,1)，则Z的数学期望为EZ?所以应填12?25.设X,Y是两个相互独立且服从正态分布N(0,(1)2)的随机变量，解若令Z?X?Y，则由独立随机变量的性质及正态分布的性质，Z服从标准z22?????ze－dz?2?????0ze－z22dz?2??.二、选择题
1.设P(X?n)?an(n?1,2,?),且EX?1,则a?(A)3?52(B)3?52(C)5?12(D)5?12
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解(B)E(X)?a3?5?1?a?2(1?a)2或a?3?523?52
?P(X?n)?an,(n?1,2,?)?0?a?1?a?2.设随机变量X服从参数为1的指数分布，则Y?X3?e?2X的数学期望为(A)83(B)103(C)143(D)193解(D)?e?x,x?0X的密度函数为f(x)??x?0?0,??0所以E(X3)??故x3e?xdx??(4)?3!,19.3??1E(e?2X)??e?3xdx?,
03E(Y)?E(X3)?E(e?2X)??1?x,?3.设X是一个随机变量，其概率密度为f(x)??1?x,?0,?则数学期望EX?(A)0(B)1(C)12(D)160若?1?x?0若0?x?1其它
分析DX?E(X2)?(EX)21?1??1?1E(X)??x(1?x)dx??x(1?x)dx??x2?x3???x2?x3??0 ?103??1?23?0?2011故应选(A).三、计算证明题
1.设在某一规定时间间隔里，某电器设备用于最大负荷的时间X(以分计)是一个随机变量，其概率密度为?x0?x?1500?(1500)2,??3000?xp(x)??,1500?x?30002?(1500)?0,其它??求E(X).
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解由连续型随机变量的数学期望定义知：EX????????xf(x)dx3000x3000?xx?dx?x??1500(1500)2dx?1500(分钟)(1500)215000 2.若有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁，用它们去试开门上的锁.设取得每只钥匙是等可能的.若每把钥匙试开一次后除去，试用下面两种方法求试开次数X的数学期望.(1)写出X的分布律；(2)不写出X的分布律.解(1)X的可能取值为1，2，?,nn?1n?211则易知：P{X?i}??????nn?1n?i?1n故X的分布律为X12?n111Pk?nnn111n?1所以E(X)???2????n?nnn2?i，若第i次把门打开(2)引进随机变量X1,X2,?,Xn,令Xi???0，其他?111则X??Xi，又P{Xi?i}?，P{Xi?0}?1－，E(Xi)?nnni?1故E(X)＝?E(Xi)??i?1i?1??in?1?n2 3.从甲地到乙地的旅游车上载20位旅客自甲地开出，沿途有10个车站，如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以X表示停车次数.求E(X).(设每位乘客在各个车站下车是等可能的);?0，第i站没有人下车解引进随机变量Xi＝??1，第i站没有人下车.?则X?X1?X2???X10.9根据题意任意一旅客在第i站不下车的概率为，因此20位旅客在第i站不下车1099的概率为()20，在第i站有人下车的概率为1?()20.101099即P{Xi?0}?()20,P{Xi?1}?1?()20(i?1,2,?,10)1010999因此E(Xi)?0?()20?1?[1?()20]?1?()20101010word文档 可自由复制编辑
4.在半圆的直径上任取一点P,过P作直径的垂线交圆周于Q,设圆的半径为1,求E(PQ)和D(PQ).解以圆的圆心为原点，以P点所在的直线为x轴建立坐标系，设P点的横坐标为X,则X服从??1,1?上的均匀分布，且PQ?1?X2,因此X的分布密度为?1?,p(x)??2??0,E(PQ)??1?12
?1?x?1其他12E(PQ)??(1?x2)·dx?;?12321
于是1?1?x·dx?;2422D(PQ)?E(PQ)??E(PQ)?4?2??916本科概率论与数理统计作业卷(七)
一、 填空题
1.设随机变量的概率密度为已知E(X)?解由1＝??a?bx2,0?x?1f(x)??其他 ?0,3,则D(X)?___________.5??11f(x)dx??(a?bx2)dx?a?b得3a?b?3??03
??131112再由＝E(X)??xf(x)dx??(a?bx2)dx?a?b得2a?b???0524536联立(1)、(2)两式解得a?,b?,代入f(x)表达式中即得55??3 D(X)?E(X2)?(EX)2??x2f(x)dx?()2??531291192??x(1?2x2)dx????.50252525252.设随机变量X1,X2,X3相互独立，且都服从参数为?的泊松分布.1令Y?(X1?X2?X3)，则Y2的数学期望等于____.3
111解E(Y)?(EX1?EX2?EX3)??,D(Y)?(DX1?DX2?DX3)??,39311故E(Y2)?(EY)2?D(Y)??2??所以应填?2??.33word文档 可自由复制编辑
3.设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则E(X2)?_________.解由题意得到X~B(10,0.4)于是EX?10?0.4?4DX?10?0.4?(1?0.4)?2.4由DX?E(X2)?[E(X)]2所以应填18.4.推得E(X2)＝DX?[E(X)]2?2.4?42?18.4
4.已知连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)?则X的数学期望为______;X的方差为_______.1?e?x2?2x?1，
分析本题最简便的方法是利用均值为?，方差为?2的正态分布的密度函数为1e?1(x??)2?22?2?,由于f(x)?1?e?x2?2x?1?12?·12e21（x?1）?·122,所以X的数学
1期望是1，方差是.2也可由数学期望和方差的定义直接求EX和DX.EX???????xf(x)dx????????x·1?e?x2?2x?1dx令t?x?11??????t2e?t21?t2edt?.???22?t2?21??11???t2最后一个等式是因为edt?1,不难推得edt?1.??????2??1故应分别填1和.25.设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计
P{X?E(X)?2}?_______.解由切比雪夫不等式P{X?E(X)??}?P{X?E(X)?2}?1所以应填.221?.222D(X)?2,把D(X)?2,??2代入得
二、选择题
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?ax2?bx?c,0?x?11.设随机变量的概率密度为?(x)???0,其他已知E(X)?0.5,D(X)?0.15,则关于系数a,b,c下列正确的选项为(A)a?12,b??12,c?3(B)a?12,b?12,c?3(C)a??12,b?12,c?3(D)a??12,b??12,c?3解因为??????(x)dx?1所以?10(ax2?bx?c)dx?1
于是13a?12b?c?1又E(X)??????x?(x)dx??10(ax2?bx?c)dx故14a?113b?2c?0.5再由D(X)?E(X2)?(EX)2,0.15?E(X2)?0.522.设离散型随机变量X服从0?1分布，即P{X?0}?p,P{X?1}?1?p,则(A)E(X)?p(B)E(X)?1?p(C)D(X)?p2(D)解(D)E(X)?1?p,E(X2)?1?p?D(X)?E(X2)?[E(X)]2?p?p2对p求导得D'(X)?1?2p?0?驻点:p?12.又D''(X)??2?0, 所以当p?12时，D(X)有极大值14,也是最大值.3.设随机变量X,Y相互独立，且X~B(10,0.3),Y~B(10,0.4），则E(2X?Y)2?
(A)12.6(B)14.8(C)15.2(D)18.9解(B)由已知条件可得E(X)?3,D(X)?2.1,E(Y)?4,D(Y)?2.4所以E(2X?Y)2?[E(2X?Y)]2?D(2X?Y)
?[2E(X)?E(Y)]2?4D(X)?D(Y)?14.8三、计算、证明题
1.已知连续型随机变量X的概率密度函数为p(x)?12?x?4x?466?e，???x???(1)求EX，DX;
(2)若已知?cp(x)dx??????cp(x)dx，求常数c.word文档 可自由复制编辑
D(X)?14
解(1)由于6?所以，X~N(2,3),从而，知(2)?c??P(x)?1e?x2?4x?462?3E(X)?2,D(X)?3dxt?x?23c?2?1e?(x?2)22?3P(x)dx????cc??12?312?3ee?(x?2)22?3?13??t2?212?e?t22dt??(c?23))???cP(x)dx??(x?2)2?2?3
dxt?)x?23???c?232?edt?1??(c?2c?23所以，得所以，c?2.?(c?23)?1??(c?23从而，知?(1c?2)?，?02332.设X服从参数为??0的泊松分布，且已知E[(X?1)(X?2)]?1，求?.
解E?(x?1)(x?2)??E(x2?3x?2)?Ex2?3Ex?2?Dx?(Ex)2?3Ex?2?1由Dx?Ex??知?＋?－3?＋2＝1?（?－1）＝0??＝122
3.设X为随机变量，C为常数，且C?EX,证明：DX?E(X?C)2.
证：因为2?E－C）＋（C－EX）?DX＝E（X－EX）＝E（222?X－C）（C－EX）?＝E（X－C）＋E（C－EX）＋2E（222＝E（X－C）－E（C－EX）?E（X－C）
4.设X1,X2,?为相互独立的随机变量序列,且Xi(i?1,2,?)服从参数?n?X?n??i???i?1?为?的泊松分布,求limP??x?.n??n???????解E(Xi)??,D(Xi)??,代入独立同分布的中心极限定理，即得?n?X?n?t2?i??x1?2?i?1?limP??x???edt??n??n?2???????所以应填?x??
12?e?t22dt.本科概率论与数理统计作业卷(八)
一、填空题
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1.设总体X服从正态分布N(?,?2)，其中?已知，?2未知，X1,X2,X3是取处自总体X的一个容量为3的样本，则不是统计量的是(A)X1?X2?X3(C)?2(X1?X2?X3)(B)max{X1,X2,X3}1(D)(X1?X2?X3)4分析由统计量的定义：不含任何未知参数的样本函数，可知（A）、（B）、（D）均为统计量，（C）不是统计量.故应选（C）.
2.设总体X~N(?,?2),(X1,X2,?，X3)为其中样本，则下列选项正确的是（X??）n（X(A)~t(n?1)(B)S（X??）n（X(C)~t(n?1)(D)S??）n~t(n)S??）n~t(n?2)S2
1n分析由结论(1)设X~N(?，?)，（X1,X2,?,Xn）是它的一个样本，X＝?Xi，ni?1那么有X~N(?，)n结论(2)若X~N(?，?2)，（X1,X2,?,Xn）为其一个样本，X与S2分别为样本均n?1值与样本方差，则有X与S2相互独立；2S2~?3(n)，且X与Y相互独立，?2?记T＝XYn，则有T~t(n).得选项（A）正确.1n3.设X1,X2,?，Xn是来自总体X的样本，则(Xi?X)2是?n?1i?1(A)样本矩(B)二阶原点矩(C)一阶中心矩(D)统计量 解应选(D)4.设X1,X2,?,Xn是取自正态总体N(?,?2)的一个样本，其中?,?2为已知，则下列选项错误的是(A)X~N(?,?2n)(B)X???n~N(0,1)
(C)X??~t(n?1)Sn(D)(n?1)S?2~?2(n?1)分析:根据数理统计的基本知识知(A)、(B)、(C)均为正确选项，而(n?1)S2?2~
?2(n?1)，所以（D）项入选.word文档 可自由复制编辑
5.设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N(0,32),而X1,?,X9和Y1,?,Y9分别是来自总体X和Y的简单随机样本，则统计量U?参数为___.X1???X9Y???Y2129服从____分布,解因为X~N(0,32),所以又因所以X1?X2???X9~N(0,1)9YiY12?Y22???Y922Y~N(0,3),~(0,1),~?2(9)39 X1???X9X???X99U?1?~t(9)22222Y1???Y9(Y1???Y9)/910故第1个空填t,第2个空填9.6.设X~N(0,0.3),X1,X2,?,X10为一个样本，求:P(?Xi2?1.44)
2i?1解Xi22是自由度为10的?变量，所以?2i?10.310?10Xi21.44???22?P??Xi?1.44??P???P(?(10)?16)?0.1??0.320.09??i?1??i?1?10
7.已知X~t(n),求证：X2~F(1,n).因为X～t(n),即X＝22
U?(n)2n,其中U～N（0，1），从而X2＝?(1)1U?~F(1，n)?2(n)n?2(n)n
xm?x8.设随机变量X的概率密度为f(x)?e(x?0,m为正整数)m!(1)求X的数学期望和方差；(2)用切比雪夫不等式估计X取值于(0,2(m?1))的概率解(1)由于1??????.f(x)dx?1??m?xxedx,因此,对任何正整数m,均有?0m!
???0xme－xdx?m!,??m?1x1从而E(X)??e－xdx?(m?1)!?m?10m!m!m?2??x12E(X)??e－xdx?(m?2)!?(m?2)(m?1),.0m!m!
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(2)切比雪夫不等式：对任意??0,有P{X?E(X)??}?1?D(X)?2令?＝m?1,且将(1)中E(X),D(X)结果代入上式可得m?1mP{X?(m?1)?m?1}?1?,即P{0?x?2(m?1)}?m?1(m?1)2
本科概率论与数理统计作业卷(九)
一、填空题
1.设X1,X2是取自正态总体N(?,2)的容量为2的样本，下列四个无偏估计中较优的是13(A)?！?X1?X244^11(C)?3?X1?X222^(B)?2?23X1?X255^43(D)?4?X1?X277^解因为D?3?1，小于D?1，D?2，D?4，所以?3较优.故应选(C).2.设总体X在[a,b]上服从均匀分布，其分布密度为
?1,a?x?b?p(x)??b?a
?其他?0,其中a,b为待故参数，(X1,X2,?,Xn)为X的一个样本，试求a,b的矩估计.a?b(b?a)2解则E(X)?,D(X)?，故可得212????a?E(X)?3D(X),则EX?X,DX?S2，则有???b?E(X)?3D(X)2 ??a?X?3S?????b?X?3S?4x2?x2?3ea，x?03.设总体X有分布密度p(x)??a?,?x?0?0, 其中a?0为待估参数，(X1,X2,?,Xn)是总体X的一个样本，试求：(1)a的矩估计；(2)a的极大似然估计word文档 可自由复制编辑
解(1)因EX??^??0x4x2a3?e?x2a2dx?2a故取EX?X,则得(2)似然函数为??i?1n?2a?2i???X,即a??2n?(2)?X.2a?L?L(x1,x2,?,xn;a)4xa3?e?xi2a2?4???3?a??????2?x???i??e?i?1?n?1a2?xi2i?1n1n2lnL?nln?ln?x?3nlna?2?xiai?1?idlnL3n2n2求导得似然方程???3?xi?0daaai?142i解之得a的最大似然估计为22n22n2????axi.a的最大似然估计量为axi??3ni?13ni?1??14.设总体X~N(?,2),X1,X2,X3为一个样本.试证?1＝(X1?2X2?X3)和?2＝41(X1?X2?X3)都是总体期望的无偏估计，并比较哪一个更有效？3
11证明由于E(?1)?[E(X1)?2E(X2)?E(X3)]??4E(X)??,44???11E(?2)?[E(X1)?E(X2)?E(X3)]??3E(X)??,故?1与?2为期望?的无偏估33
?计，又因为1333[D(X1)?4D(X2)?D(X3)]??2??22?.16882 ?13242D(?2)?[D(X1)?D(X2)?D(X3)]?9???2?.993D(?1)??由于D(?2)?D(?1)，故?1是比?1更有效的估计量.????5.设?是参数?的无偏估计,且有D(?)?0,试证:??(?)2不是?2的无偏估计.
2^^^^证明因为X~t(n),即X?22U?(n)/n2,其中U~N(0,1),从而X2?U?(1)/1?~F(1,n)22?(n)/n?(n)/n
本科概率论与数理统计作业卷(十)
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1.从长期生产实践知道，某厂生产的100W灯泡的使用寿命X~N(?,1002)(单位：h)现在某一批灯泡中抽取5只，测得使用寿命如下：14551502137016101430
试求这批灯泡平均使用寿命?的置信区间(?分别为0.1和0.05).解：由样本值得1X＝（1455＋1502＋1370＋1610＋1430）＝1473.45当?＝0.1，查表得??2＝1.64，故X－??2X＋??2?n?1473.4?1.64?1005100?1400.1?1473.4?1.64??1546.7n5?1400.1，于是置信度90%下，平均使用寿命?的置信区间为1546.7?当?＝0.05时，查表得??2＝1.96，故X－??2X＋??2??n?1473.4?1.96??1473.4?1.96?1005100?1385.7?1561.1?n5?1385.7，于是在置信度95％下，平均使用寿命?的置信区间为1561.1?2.测量某种仪器的工作温度(。C)5次得数据如下：1250,1275,1265,1245,1260(??0.05).
设仪器的工作温度服从正态分布N(?,?2),?2未知，试求?的置信区间解选T?2X??n为估计用统计量，由a?0.05查t?分布表得Sta(n?1)?t0.05(5?1)?t0.025(4)?2.77642
1又x?(1250?1275?1265?1245?1260)?125951512570222222s?(x?x)?(9?16?6?14?1)??i5?1i?144由(7.3.3)算得??x?t·?1a2
snsn?1259?2.7764570?1259?14.8?1244.24?5??x?t·?2a2?1259?14.8?1273.8所以?的95%置信区间为(1244.2,1273.8).word文档 可自由复制编辑
3.冷抽铜丝的折断力服从正态分布.从一批铜丝中任取10根,测试折断力,得数据(单位:kg)如下:
578,572,570,568,572,570,570,596,584,572求方差?2和标准差?的90%的置信区间.1解：X％＝（578＋572＋570＋568＋572＋570＋570＋596＋584＋572）＝575.2101S2＝（578－575.2)2?(572?575.2)2?(570?575.2)2?(568?575.2)2?(572?575.2)210－1(570?575.2)2?(570?575.2)2?(596?575.2)2?(584?575.2)2?(572?575.2)2?75.73??22查?2分部表得??（）＝?0（9）＝16.919,29。052?12??2(9)??0.95(9)?3.325(n?1)S29?75.73故2＝?40.28,16.919??（9）2(n?1)S29?75.73??204.9823.325??(9)2?40.28，?6.35,14.32?于是得?2的90％的置信区间为240.98?,?的90％置信区间为4.某工厂用自动包装机包装奶粉，今在某天生产的奶粉中随机抽取10袋，测得各袋的重量(单位：g)为495,510,505,489,503,502,512,497,506,标准差为?0＝5克(??0.05)?解2分两种情况讨论：(1)?0?500克；(2)?0未知，H0:?2??0492
设包装机称得的奶粉重量X~N(500,?2)，能否认为各袋净重的(1)因X的均值?0?500克已知，故当H0为真时，检验用统计量为??21?20i?1?(Xni??0)2~?2(n)2对于给定的显著性水平??0.05,查?2?分布表得临界值?0.025(10)?20.5 2?0.975(10)?3.25,已知?0?500,?0?5,n?10.2根据样本值计算统计量?的值为??212?0?(xi?110i?500)2?16.88222因?0.975(10)????0.025(10),故在显著性水平??0.05下接受H0.(2)因X的均值?0未知，故当H0为真时，检验用统计量为??2(n?1)S22?0~?2(n?1)2对于给定的显著性水平??0.05,查?2?分布表得临界值?0.025(9)?19,222?0(9)?2.7,已知??5，根据样本值计算得s?42.222,于是?的值为.9750
?2?12?0(n?1)s2?15.20222因?0.975(9)????0.025(9),故在显著性水平??0.05下接受H0.综上所述可知，在两种情形下都可以认为各袋奶粉净重的标准差为?0?5克.word文档 可自由复制编辑
5.某厂生产乐器用的合金弦线，其抗拉强度服从期望为1035（单位：Nmm2）的正态分布.现从某天生产的弦线中取10根，测得X?1042,S2?82.问：这天 生产的弦线的抗拉强度是否有显著变化(??0.05)？解假设H0:?＝?0＝1035，由于总体方差未知，故t检验.对于给定?＝0.05，按P{T?t0.025}?0.05查t分布的临界值表，得t0.025＝20262（自由度为9），由X＝1042，S?8，计算T的值t，即t＝X??01042?1035＝＝2.767S8n显然有t＝2.767?2.262?t0.02510故拒绝假设H0:??1035，即认为这天生产的弦线的抗拉强度有显著变化.6.设甲乙两车间生产罐头食品，由长期积累的资料知道，它们的水分活性都服从正态分布，并且均方差分别为0.142和0.105，今各抽取15罐，分别测定它们的水分活性，算得甲的平均数为0.811，乙的平均数为0.862，问甲乙两车间生产的罐头食品水分活性均值?1和?2有无显著差异(??0.05)?解将甲乙两车间生产的罐头食品水分活性分别作为总体X和Y,依题意，设H0:?1??2由于X和Y的方差均已知，故在H0为真的条件下，检验用统计量为U?X?Y?21n1??22~N(0,1)n22对于给定的显著性水平a?0.05,借助标准正态分布表可算出?a?1.96,已知x?0.811,?1?0.142,n1?15,y?0.862,?2?0.105,n2?15,故统计量U的值为u?x?y?21n1??22??1.12n2因u?1.12?1.69,故在显著性水平a?0.05下接受H0,即认为甲乙两车间生产的罐头食品水分活性均值无显著差异.2②?12,?2均未知但相等时：X与Y的样本标准差分别是S1与S2,当H0为真时，由(2.1.22)知，统计量T?(X?Y)(n1?1)S?(n2?1)Sn1?n2?22122?11????nn??2??1~t(n1?n2?2)于是可用T检验法检验H0.
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概率论与数理统计作业卷及答案
