1981年~2018年全国高中数学联赛一试试题分类汇编
1、逻辑部分
2014B 3、对于实数R的任意子集U，我们在R上定义函数fU(x)???1,x?U，如果A,B是实数R0,x?U?的两个子集，则fA(x)?fB(x)?1，的充分必要条件是 ◆答案：A,B互为补集
★解析：对于任意的x?R，fA(x)?fB(x)?1，这说明fA(x),fB(x)中至少有一个是1，即
x?A?B，所以A?B?R，另一方面，fA(x),fB(x)中仅有一个是1，即A?B??，从而A,B互为补集。
2001*15、（本题满分20分）用电阻值分别为a1,a2,a3,a4,a5,a6 (a1?a2?a3?a4?a5?a6) 的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论．
★解析：首先，对电路图进行截取分段考虑，如下三个图
设6个电阻的组件（如图3）的总电阻为RFG．当Ri?ai ，i?3,4,5,6，R1，R2是a1，a2的任意排列时，RFG最小．
证明如下：
1°设当两个电阻R1，R2并联时，所得组件阻值为R：则
111??．故交换二电阻的位RR1R2置，不改变R值，且当R1或R2变小时，R也减小，因此不妨取R1?R2．
2°设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为RAB：
RAB?RR?R1R3?R2R3R1R2?R3?12．
R1?R2R1?R2显然R1?R2越大，RAB越小，所以为使RAB最小必须取R3为所取三个电阻中阻值最小的一个． 3°设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为RCD：
RR?R1R3?R1R4?R2R3?R2R4111． ???12RCDRABR4R1R2R4?R1R3R4?R2R3R4若记S1?1?i?j?4?RiRj，S2?1?i?j?k?4?RiRjRk．则S1、S2为定值．于是RCD?S2?R1R2R3．
S1?R3R4只有当R3R4最小，R1R2R3最大时，RCD最小，故应取R4?R3，R3?R2，R3?R1，即得总电阻的阻值最小．
4°对于图3，把由R1,R2,R3组成的组件用等效电阻RAB代替．要使RFG最小，由3°必需使
R6?R5；且由1°，应使RCE最小．由2°知要使RCE最小，必需使R5?R4，且应使RCD最小．
而由3°，要使RCD最小，应使R4?R3?R2且R4?R3?R1． 这就说明，要证结论成立
221998*4、设命题P:关于x的不等式a1x?b1x?c1?0与a2x?b2x?c2?0的解集相同；命题
a1b1c1??。则命题Q（ ） a2b2c2A.是命题P的充分必要条件 B.是命题P的充分条件但不是必要条件
C.是命题P的必要条件但不是充分条件 D.既不是命题P的充分条件也不是命题P的必要条件 Q:◆答案：D
★解析：若两个不等式的解集都是R，否定A、C，若比值为?1，否定A、B，选D
1995*3、如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( )
A.1个 B.2个 C. 50个 D. 100个 ◆答案：D
★解析：把身高按从高到矮排为1~100号，而规定二人比较，身高较高者体重较小，则每个人都是棒小伙子．故选D．
1994*2、给出下列两个命题：
(1)设a,b,c都是复数，如果a?b?c，则a?b?c?0； (2)设a,b,c都是复数，如果a?b?c?0，则a?b?c． 那么下述说法正确的是（ ）
A.命题(1)正确，命题(2)也正确 B.命题(1)正确，命题(2)错误 C.命题(1)错误，命题(2)也错误 D.命题(1)错误，命题(2)正确 ◆答案：B
★解析：⑴正确，⑵错误；理由：⑴a?b?c，成立时，a?b与c都是实数，故此时
222222222222222222a2?b2?c2?0成立；
⑵ 当a?b?c?0成立时，a?b?c是实数，但不能保证a?b与c都是实数，故
222222222a2?b2?c2不一定成立．故选B．
1988*4．已知三个平面?、?、?，每两个之间的夹角都是?，且????a，????b，．若有命题甲：??????c，
?3； 命题乙：a、b、c相交于一点． 则
A．甲是乙的充分条件但不必要 B．甲是乙的必要条件但不充分
C．甲是乙的充分必要条件 D．A、B、C都不对 ◆答案：C
a、c或平行，??★解析：或交于一点．但当a//b//c时，b、
C．
1985*1、 假定有两个命题：
甲：a是大于0的实数；乙：a?b且a?1?3．当它们交于一点时，????．选
?3?b?1．那么( )
A．甲是乙的充分而不必要条件 B．甲是乙的必要而不充分条件
C．甲是乙的充分必要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 ◆答案：B
★解析：由于a?b且a?1?b?1成立时，必有a?0,b?0．故由乙可得甲，故选B
1981-2018年全国高中数学联赛真题分类汇编含解析答案11逻辑与不定方程
