结构有限元刚度方程求解基础

结构有限元刚度方程求解基础 结构有限元法刚度阵的特征： 1）一般维数很大 2）“0”元素很多

3）非“0”元素多集中在矩阵的对角线附近

4）一般来说矩阵是对称正定的（特殊的如结构流体耦合问题则刚度阵非对称） 有限元的灵魂： 求解

方程组

已知力F求位移δ的情况，则，实际计算中，我们不直接求[K]

的逆矩阵，而把[K]转化为上三角或下三角矩阵，最后回代求解方程。 线性方程组的解法主要有直接法和迭代法，以下介绍直接法。

<1>三角方程组

以下矩阵均只考虑方阵。 1) 向前消去 考虑下面方程组

如果l11l22≠0,则未知数可确定如下:

这就是所谓的向前消去, 其一般形式为

算法1.1（向前消去：行形式）Ax=b的解覆盖b b(1)=b(1)/L(1,1) for i=2~n

b(i)=(b(i)-L(i,1~i-1)b(1~i-1))/L(i,i) end

2) 向后消去 解上三角方程组

的类似算法叫向后消去法,

算法1.2（向后消去：行形式）Ux=b的解覆盖b b(n)=b(n)/L(n,n) for i=n-1,1,-1

b(i)=(b(i)-U(i,i+1~n)b(i+1~n))/U(i,i) end

向后消去法的算法实现(Fortran):

注:数组du(i)表示向量阵

,

,whlf(i)表示向量,二维数组whlk(i,j)表示矩

变量neqns表示方程数,临时变量temp

du(neqns)=whlf(neqns)/whlk(neqns,neqns) do 100 i=neqns-1, 1, -1 temp=0.

do 200 j=i+1, neqns

temp = temp + whlk(i,j)*du(j) 200 enddo

du(i) = (whlf(i)-temp)/whlk(i,i) 100 enddo

基于列的形式：交换循环顺序可得到以上算法的列形式，考虑向前消去，一旦x1解出来，该变量可以从第2~n个方程中去掉，我们可只考虑缩小后的方程组

然后我们算出x2，并且从第3~n个方程中去掉x2，依次类推，例如：

我们有x1=3，那么我们处理2x2方程组

算法1.3（向前消去：列形式）Lx=b的解覆盖b for j=1~n-1 b(j)=b(j)/L(j,j)

b(j+1~n)=b(j+1~n)-b(j)L(j+1~n,j) end