全等三角形的构造方法
全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他内容的基础。 判断三角形全等公理有 SAS、ASA、AAS、SSS和HL，如果能够直接证明三角形的 全等的，直接根据相应的公理就可以证明，但是如果给出的条件不全，就需要 根据已知的条件结合相应的公理来进行分析，先推导出所缺的条件然后再证 明。一些较难的一些证明问题要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起 来，再进行等量代换，就可以化难为易了。
构造方法有： 1．截长补短法。
2．平行线法（或平移法）：若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，
对Rt△, 有时可作出斜边的中线。 3．旋转法：对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造
全等三角形。 4．倍长中线法：题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将
分散条件集中在一个三角形内。 5．翻折法：若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，
沿轴翻转图形来构造全等三角形。下面举例说明几种常见的构造方法，供 同学们参考．
1． 截长补短法 （通常用来证明线段和差相等）
“截长法”即把结论中最大的线段根据已知条件分成两段，使其中一段 与较短线段相等，然后证明余下的线段与另一条线段相等的方法．“补短 法”为把两条线段中的一条接长成为一条长线段，然后证明接成的线段与 较长的线段相等，或是把一条较短的线段加长，使它等于较长的一段，然 后证明加长的那部分与另一较短的线段相等 ．
例1. 如图所示，在 Rt△ABC中，∠C=90° ，BC=AC，AD平分∠BAC交 BC于 D，求证： AB=AC+C．D
例 2 已知：如图， AB=AC，E为 AB上一点， F 是 AC延长线上一点，且 BE=CF，EF交 BC于 点 D．求证： DE=DF．
(2) 已知：如图， AB=AC，E 为 AB上一点， F是 AC延长线上一点，且， EF交 BC于点 D， 且 D为 EF的中点．
求证： BE=CF．
例 3( 北京市数学竞赛试题， 天津市数学竞赛试题 ) 如图所示， ABC 是边长为 1的正三角形， BDC 是顶角为 120 的等腰三角形，以 D 为顶点作一个 60 的 MDN ，点 M 、 N 分别在
AB、 AC 上，求 AMN 的周长．
A
A
N
M B
E
D
D
C
B M
N
C
1. 如图已知：正方形 ABCD中，∠BAC的平分线交 BC于 E，
求证：AB+BE=A．C
2.( 06年北京中考题 ) 已知 ABC 中， A 60 ，BD 、CE 分别平分 ABC和 . ACB，BD 、
CE 交于点 O，试判断 BE、 CD 、 BC 的数量关系，并加以证明．
A
A
E
O
D
E 1
C B
F O
4
2 3
C D
B
3. 已知：如图， ABCD是正方形，∠ FAD=∠FAE.
求证： BE+DF=AE.
A D
F
B C
E
如图，四边形 ABPC中， ， ， ，求证： ．
2．平行线法（或平移法）
若题斜边的中线． 设中
例 △ABC中，∠ BAC=60°，∠ C=440°AP平分∠ BAC交 BC于 P，BQ平分∠
含ABC交 有AC于 Q，求证： AB+BP=BQ+A．Q
中点可以试过中点作平
线，对 Rt△, 有时可作出
说明：⑴本题也可以在AB截取 AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长补短 法\．
⑵本① 如图（ 2），过 O作 OD∥BC交 AC于 D，则△ ADO≌ △ABO来解决． 题利②如图（3），过 O作 DE∥BC交 AB于 D，交 AC于 E，则△ADO≌ △ AQO， 用 “△ABO≌ △AEO来解决． 平行③如图（ 4），过 P 作 PD∥BQ交 AB的延长线于 D，则△ APD≌ △ APC 法
来解决． ”解法
也④ 如图（ 5），过 P 作 PD∥BQ交 AC于 D，则△ ABP≌ △ADP来解决． 较多（，本举题：作 3．旋转法 平行线对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形 的方
例．已知：如图（ 6）， P为△ ABC内一点，且 PA=3，PB=4，PC=5， 法还很求∠ APB的度数．多，感兴趣的同）
构造全等三角形的方法 - 图文
