22(?1??2)(m?M)Mv0(?1??2)(M?m)v0?L?
2[?1M+(?1??2)m]2g2?2[?1M?(?1??2)m]g满足时，在车已停稳后重物仍会向前运动并且撞上车厢前壁。
从制动到重物B与车厢前壁碰撞前，重物B克服摩擦力做功。设在碰撞前的瞬间重物B相对地面的速度为v2，由动能定理有 由⑧式得
(?1??2)M(?mv)20s????2gL v2?v?2?g2(1L)2
?1M?(?1??)m2201212mv2?mv0??2mg(s1?L) ⑧ 22 设碰撞后瞬间重物B与卡车A的速度均为v，由于碰撞时间极短，碰撞前后动量守恒 mv2?(m?M)v ⑨ 由⑨式得
mmv2? v?m?Mm?M2(?1??2)(M?m)v0?2?2gL
?1M?(?1??2)m碰撞过程中重物B对车厢前壁的冲量为 mM I?Mv?0?m?M2(?1??2)(M?m)v0?2?2gL ⑩
?1M?(?1??2)m碰撞后，卡车和重物又一起运动了一段时间
vmv2? t?? ? ?1g?1?m?M?g再移动了一段路程
2?(?1??2)(M?m)v0?m2?=??2?gL s12? ? 2?1g2?1(m?M)2g??M?(???)m12?1?v2才最终停止下来（对于卡车而言，这是第二次停下来）。
重物撞上车厢前壁的时间是
v?v2??0 t2 ?
?2g 所以，从卡车制动到车和重物都停下所用的总时间为
?1?v?v2vmv2m??t??0t(i)?t2??0???v2?2g?1g(M?m)?2g??2g?1g(M?m)?? ?
2v?M?(?1??2)m(?1??2)(M?m)v0 ?0?1?2?2gL?2g?1?2g(m?M)?1M?(?1??2)m卡车移动的总路程则为
2[?1M(m?M)?(?1??2)m2]v0?2m2L(i)??? s1=s1+s1 ? 2?1(m?M)[?1M?(?1??2)m]g?1(m?M)2（ii）t?t1，即卡车还未停下，重物就与车厢前壁发生碰撞 由⑨式的推导可知，条件t?t1可写成
6
(?1??2)m(?MM)v20 L?
2[?1M??(1??2m)2g]由匀减速运动学公式，⑥式成为
11 v0t?a2t2?(v0t?a1t2)?L
22解得碰撞发生的时间
2L2LM? t?
a1?a2(?1??2)(m?M)g?和重物B的速度v2?分别为 在碰撞前的瞬间，卡车A的速度v1??v0?at1?v? v10a2LM2LM?v?v?at?v?a， 120202(?1??2)(m?M)g(?1??2)(m?M)g ?
由碰撞前后动量守恒，可得碰撞后重物B和卡车A的共同速度v?为
??Mv1?mv2ma?Ma12LMv???v0?2m?Mm?M(?1??2)(m?M)g ?
2LMg?v0??1(?1??2)(m?M)由冲量定理和以上两式得碰撞过程中重物B对车厢前壁的冲量为
Mm2(?1??2)M?)? I??M(v??v12(a1?a2)L?mgL ?
m?Mm?M卡车运动时间为碰撞前后的两段时间之和，由t? t(ii)?t?2LM与?式可得
(?1??2)(m?M)gvv??0 ? ?1g?1g卡车总路程等于碰前和碰后两段路程之和
2v012v?2mL(ii)?? s1?v0t?a1t? ?
22?1g2?1gM?m[另解，将卡车和重物视为一个系统，制动过程中它们之间的摩擦力和碰撞时的相互作用力
（M?m)?1g。在此力作用下系统质心都是内力，水平外力只有地面作用于卡车的摩擦力
做加速度大小为?1g的匀减速运动，从开始到卡车和重物都停止时所经历的时间为
v t(ii)?0 ?
?1g系统质心做匀减速运动的路程为
2v0 ?xc=
2?1g设制动前卡车和重物的质心分别位于x1和x2；制动后到完全停下卡车运动了路程s1(ii)，两个
(ii)(ii)??x1?s1??x2?s1+L。于是有 质心分别位于x1和x22(II)??mx2?Mx1?mx2(M?m)s1v0Mx1?mL??? ?xc=
M?mM?mM?m2?1g由此解得
2v0mL(ii)? s1? ? 2?1gM?m]
评分参考：第（1）问10分，①②③④⑤式各2分；第（2）30分，⑥式2分，⑦⑧⑨⑩?????式各2分，?????式各2分。
7
四、（40分）如俯视图，在水平面内有两个分别以O点与O1点为圆心的导电半圆弧内切于M点，半圆O的半径为2a，半圆O1的半径为a；两个半圆弧和圆O的半径ON围成的区域内充满垂直于水平面向下的匀强磁场（未画出），磁感应强度大小为B；其余区域没有磁场。
? P Q N O 半径OP为一均匀细金属棒，以恒定的角速度? 绕O
点顺时针旋转，旋转过程中金属棒OP与两个半圆弧均接触良好。已知金属棒OP电阻为R，
O1 两个半圆弧的电阻可忽略。开始时P点与M点重合。在t（0?t?圆O1交于Q点。求
（1）沿回路QPMQ的感应电动势；
（2）金属棒OP所受到的原磁场B的作用力的大小。 解：
（1）考虑从初始时刻t?0至时刻0?t?M π?）时刻，半径OP与半
π，金属棒OP扫过的磁场区域的面积为 2? S?S扇形OPM?S扇形O1QM?S?O1QO ①
式中，S扇形OPM、S扇形O1QM和S?O1QO分别是扇形OPM、扇形O1QM和?O1QO的面积。由几何关系得
1 S扇形OPM?(?t)(2a)2 ②
21 S扇形O1QM?(2?t)a2 ③
2 S?O1QO?(asin?t)(acos?t) ④ 由①②③④式得
1 S?(2?t?sin2?t)a2 ⑤
2通过面积S的磁通量为
??BS ⑥ 由法拉第电磁感应定律得，沿回路QPMQ的感应电动势为 ???d? ⑦ dt式中，负号表示感应电动势沿回路逆时针方向（即沿回路QPMQ）。由⑤⑥⑦式得 ???(1?cos2?t)?a2B, 0??t?π ⑧ 28
当
π2??t?π?时，沿回路QPMQ的感应电动势与t?π2?时的一样，即 ???2?a2B, π2??t?π ⑨ （2）在t时刻流经回路QPMQ的电流为 i??R ⑩
1式中
RL1?R2a ? 这里，L为PQ的长。由几何关系得 L?2a?2acos?t, 0??t?π2 ? L?2a, π2??t?π ? 半径OP所受到的原磁场B的作用力的大小为
F?iLB ? 由⑧⑩???式得
?(1?cos2?t)2?a3B2 FR, 0??t?π2 ?
由⑨⑩???式得
4?a3B2 F?R, π2??t?π. ?
评分参考：第（1）问22分，①②③④⑤式各2分，⑥⑦式各4分，⑧⑨式各2分；第（2）问18分，⑩式4分，???式各2分，?式4分，??式各2分。
9
五、（40分）某种回旋加速器的设计方案如俯视图a所示，图中粗黑线段为两个正对的极板，其间存在匀强电场，两极板间电势差为U。两个极板的板面中部各有一狭缝（沿OP方向的狭长区域），带电粒子可通过狭缝穿越极板（见图b）；两细虚线间（除开两极板之间的区域）既无电场也无磁场；其它部分存在匀强磁场，磁感应强度方向垂直于纸面。在离子源S中产生的质量为m、带电量为q（q?0）的离子，
ODbDPS由静止开始被电场加速，经狭缝中的O点进入磁场区域，O点到极板
图a
右端的距离为D，到出射孔P的距离为bD（常数b为大于2的自然数）。已知磁感应强度大小在零到Bmax之间可调，离子从离子源上方的O点射入磁场区域，最终只能从出射孔P射出。假设如果离子打到器壁或离子源外壁则即被吸收。忽略相对论效应。求 （1）可能的磁感应强度B的最小值； （2）磁感应强度B的其它所有可能值； （3）出射离子的能量最大值。 解：
（1）设离子从O点射入磁场时的速率为v，由能量守恒得
DS图b
1 qU?mv2 ①
2由①式得
v?2qU ② m设离子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为r，有
v2 qBv?m ③
r由②③式得 r?12mU ④
Bq10
2017第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题和答案
