长春外国语学校2024-2024学年第一学期期中考试高三年级
数学试卷(理)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页。考试结束后，将答题卡交回。 注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信 息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书 写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷
一、选择题：(本题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.设集合A?xx?1?，B?xx(x?3)?0???，则A?B? ( )
A. ??1,0? B. ?0,1? C. ??1,3? D. ?1,3?
2.设复数z满足?1?i??z?1?2i（i为虚数单位），则复数z对应的点位于复平面内( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.有6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法数 ( ) A. 24 B.36 C.48 D.60
4.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图所示.当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是
，则8771用算筹可表示为 （ ）
A. B. C. D.
25．在等比数列?an?中，a4和a12是方程x?3x?1?0的两根，则a8? ( )
A．?33 B． C．?1 D．?1 226.已知向量a??1,m?，b??3,?2?，且(a?b)?b，则m? ( ) A．－8 B．－6 C. 6 D．8
7.下列函数中，在?0,???内单调递减的是 ( ) A. y?22?x B. y?1x?12 C. y?log1 D. y??x?2x?a
x1?x28.函数f?x??Asin??x????A?0,??0,?( ) A.
???2??????????x?R?的部分图象(如图所示，则f??? 2??3?1 21 2 B.
3 23 2
y1C. ?
D. ?Oπ62π3x9.已知x?0,y?0，且
21??1，若x?2y?m2?2m恒成立，则实数m的取值范围 xy B．m?2或m??4
A．m?4或m??2 C．?2?m?4
D．?4?m?2
10.已知边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕，将?ABC折成直二面角，则过
A,B,C,D四点的球的表面积为 ( )
A.2? B.3? C.4? D.5?
11.已知O为坐标原点，抛物线C:y?8x上一点A到焦点F的距离为6，若点P为抛物线C准线上的动点，则OP?AP的最小值为 ( ) A.4 B.43 C.46 D.63
2
12. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x??)?f(?x)，当x?[0,?2]时，f(x)?x，则函数
g(x)?(x??)f(x)?1在区间[?3?,3?]上所有零点之和为 2 第Ⅱ卷
A. ? B. 2? C. 3? D. 4?
本卷包括必考题和选考题两部分。第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22-23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：(本题共4小题，每小题5分)
13.已知?1?ax?的展开式中x的系数为20，则a? 6314. 曲线y?2ln?x?1?在点?0,0?处的切线方程为
a2?b2?c215. ?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c．若?ABC的面积为，
4则C? 16.已知函数f?x??2x?n?，数列?an?的通项公式为an?f??(n?N?)，
20242x?1??则a2024? ;此数列前2024项的和为 ． 三、解答题：
17. 已知等差数列?an?满足a3?7,a5?a7?26,?an?的前n项和为Sn （1）求an及Sn； （2）令bn?
18.在四棱锥P?ABCD中,平面PAD?平面ABCD，PA?PD?2,四边形ABCD是边长为2的菱形，
1(n?N?),求数列?bn?的前n项和为Tn 2an?1?A?60?,E是AD的中点.
(1)求证: BE?平面PAD；
(2)求平面PAB与平面PBC所成的锐二面角的余弦值.
P D E A B
19.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄
C 25?，第2组?25，35?，第3组?35，45?，第4 组?45，55?，第5组?55，65?，得到的频率分分组：第1组?15，布直方图如图所示
频率/组距 a 0.030 0.015 0.010 O 15 25 35 45 55 65 年龄（岁）
(1) 求a的值；
(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人进行问卷调查，求在第1组已被抽到1人的前提下，第3组被抽到2人的概率；（3）若从所有参与调查的人中任意选出3人，记关注“生态文明”的人数为X，求X的分布列与期望.
220.在平面直角坐标系中，已知圆C1的方程为?x?1??y?9，圆C2的方程为
2?x?1?2?y2?1，动圆C与圆C1内切且与圆C2外切. (1)求动圆圆心C的轨迹E的方程；
(2)已知P??2,0?与Q?2,0?为平面内的两个定点，过?1,0?点的直线l与轨迹E交于A,B两点，求四边形
APBQ面积的最大值.
21. 已知a?R，函数f?x??2?alnx. x（1）讨论函数f?x?的单调性；
（2）若x?2是f?x?的极值点，且曲线y?f?x?在两点P?x1,f?x1??,Q?x2,f?x2??
?x1?x2?6?处的切线互相平行，这两条切线在y轴上的截距分别为b1,b2，求b1?b2的取值范围.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22.选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1:??4cos?，
C2:?cos??3.
（1）求C1与C2的交点的极坐标； （2）设点Q在C1上，OQ?23.选修4—5：不等式选讲 设函数f?x??5?x?a?x?2. (1)当a?1时,求不等式f?x??0的解集; (2)若f?x??1恒成立,求a的取值范围.
长春外国语学校2024-2024学年第一学期期中考试高三年级
数学试卷(理)答案
一、选择题 1 C
二、填空题：
13. ?1 ; 14. y?2x
2 C 3 A 4 A 5 C 6 D 7 A 8 B 9 D 10 D 11 C 12 D 2QP，求动点P的轨迹的极坐标方程. 3
2024届吉林省长春外国语学校高三上学期期中考试数学（理）试题（含答案）
