14、如图1,在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M为CC1 的中点，AC交BD于点O，求证：AO?平面MBD． 1 考点：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直（设棱长为a）
1.证明：在?ABD中，∵E,H分别是AB,AD的中点∴EH//BD,EH?同理，FG//BD,FG?(2) 90° 30 °
2.证明：（1）
1BD 21BD∴EH//FG,EH?FG∴四边形EFGH是平行四边形。 2BC?AC???CE?AB
AE?BE?AD?BD?同理，??DE?AB
AE?BE?又∵CE?DE?E ∴AB?平面CDE （2）由（1）有AB?平面CDE
又∵AB?平面ABC， ∴平面CDE?平面ABC
3.证明：连接AC交BD于O，连接EO， ∵E为AA1的中点，O为AC的中点 ∴EO为三角形A1AC的中位线 ∴EO//AC1
BDE外 又EO在平面BDE内，AC1在平面BDE。 ∴AC1//平面
4.证明：∵?ACB?90° ?BC?AC
又SA?面ABC ?SA?BC ?BC?面SAC ?BC?AD
又SC?AD,SC?BC?C?AD?面SBC
AC11?B1D1?O1，连结AO
1∵ ABCD?A1BC11D1是正方体 ?A1ACC1是平行四边形 ∴A1C1∥AC且 AC11?AC 又O1,O分别是AC11,AC的中点，∴O1C1∥AO且O1C1?AO ?AOC1O1是平行四边形
?C1O∥AO1,AO1?面ABD，CO?面ABD ∴CO∥面ABD
11111111（2）CC1?面A1B1C1D1 ?CC ! 1?B1D∵AC11?B1D1， ?BD?面ACC又 1111 即A1C?B1D1
AC?AD1， 又D1B1?AD1?D1
同理可证15.证明：（1）连结AC11，设
?面AB1D1 ?AC16.无答案
7.证明：(1)由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，
又BD ?平面B1D1C，B1D1?平面B1D1C， ∴BD∥平面B1D1C． 同理A1D∥平面B1D1C．
而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD．
(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G，∴AE∥B1G．
8.证明：（1）取PA的中点Q，连结MQ,NQ，∵M是PB的中点，
∴MQ//BC，∵ CB?平面PAB ，∴ MQ?平面PAB
从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD．
A?PB∴QN是MN在平面PAB内的射影 ，取 AB的中点D，连结 PD，∵P∴BN?ND ∴QN//PD，∴QN?AB，由三垂线定理得MN?AB
[来源学§科§网]N?N3B,∴PD?AB，又A，
（2）∵?APB?90，PA?PB,∴PD?1AB?2，∴QN?1，∵MQ?平面PAB.∴MQ?NQ，且21MQ?BC?1，∴MN?2 2
9.证明：∵E、F分别是AB、AD的中点，?EF∥BD 又EF?平面BDG，BD?平面BDG?EF∥平面BDG ∵D1GEB?四边形DGBE为平行四边形，D1E∥GB 1又D1E?平面BDG，GB?平面BDG?D1E∥平面BDG
EF?D1E?E，平面DEF∥平面BDG
?110.证明：（1）设AC?BD?O，
∵E、O分别是AA1、AC的中点，?AC1∥EO
BDE 又AC?平面BDE，EO?平面BDE，?AC11∥平面
（2）∵AA1?平面ABCD，BD?平面ABCD，AA1?BD 又BD?AC，
AC?AA1?A，BD?平面AAC，BD?平面BDE，平面BDE?平面AAC
??1111.证明：（1）?ABD为等边三角形且G为AD的中点，?BG?AD 又平面PAD?平面ABCD，?BG?平面PAD
（2）PAD是等边三角形且G为AD的中点，?AD?PG 且AD?BG，PG?BG?G，?AD?平面PBG，
PB?平面PBG，?AD?PB
（3）由AD?PB，AD∥BC，?BC?PB 又BG?AD，AD∥BC，?BG?BC
??PBG为二面角A?BC?P的平面角
在Rt?PBG中，PG?BG，??PBG?450
12.证明：连结MO，A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，
A1A?AC?A，∴DB⊥平面A1ACC1，而AO1?平面A1ACC1 ∴DB⊥AO1．
设正方体棱长为a，则A21O?3a2，MO2?34a22． 在Rt△AC11M中，
A291M?4a2．∵AO2221?MO?AM1，∴AO1O?M∵OM∩DB=O，∴ AO1⊥平面MBD． .
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高中数学立体几何常考证明题汇总
