23．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
y2已知点F1、F2为双曲线C：x?2?1?b?0?的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的
b2直线，在x轴上方交双曲线C于点M，且?MF1F2?30?，圆O的方程是
x2?y2?b2．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求
PP1?PP2的值；
（3）过圆O上任意一点Q?x0,y0?作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，AB中点为
D，求证:AB?2OD．
22解： （1）设F2,M的坐标分别为(1?b,0),(1?b,y0)(y0?0)
y02 因为点M在双曲线C上，所以1?b?2?1，即y0?b2，所以MF2?b2
b20在Rt?MF2F1中，?MF，MF2?b，所以MFF?30121?2b ……2分
22由双曲线的定义可知：MF1?MF2?b?2
2y2?1 ……4分 故双曲线C的方程为：x?22（2）由条件可知：两条渐近线分别为l1:2x?y?0;l2:2x?y?0 ……5分 设双曲线C上的点P(x0,y0)，设两渐近线的夹角为?，则 则点P到两条渐近线的距离分别为|PP1|?22x0?y03,|PP2|?2x0?y03……7分
y2?1上，所以2x02?y02?2 因为P(x0,y0)在双曲线C：x?2又cos??1 3，
所以分
?2x0?y03?2x0?y032x02?y0212cos???? ……10
339（3）由题意，即证：OA?OB.
设A(x1,y1),B(x2,y2)，切线l的方程为：x0x?y0y?2 ……11分
①当y0?0时，切线l的方程代入双曲线C中，化简得： (2y02?x02)x2?4x0x?(2y02?4)?0
4x0(2y02?4)所以：x1?x2?? ,x1x2??2222(2y0?x0)(2y0?x0)(2?x0x1)(2?x0x2)8?2x0212又y1y2?…13??2?4?2x0(x1?x2)?x0x1x2??22??y0y0y02y0?x0分 所以
……15分
②当y0?0时，易知上述结论也成立． 所以分
综上，OA?OB，所以AB?2OD．……18分 （注：用其他方法也相应给分）
……16
上海市金山中学2013-2014学年高二下学期4月阶段测试（月考）数学试题Word版含答案
