考试时间120分钟 满分150分
一、填空题（本大题每题4分，满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸的相应题号的空格内填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分。
?1．若直线l经过点P(1,2),方向向量为d?(3,?4)，则直线l的点方向式方程是
_
x?1y?2?. 3?42 32．若直线l1: ax?2y?0与直线l2:x?(a?1)y?4?0垂直，则a?________.?3．若3?2i（i为虚数单位）是关于x的方程x2?px?q?0(p,q?R)的一个根，则q的值为 .13
y2?1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线方程是4．与双曲线x?42x2y2??1 ________.
3125．将函数y?4?x2的图像绕x轴旋转一周所形成的几何体的体积为__________.
32? 36．在东经120?圈上有甲、乙两地，它们分别在北纬15?与北纬75?圈上，地球半径为R，则甲、乙两地的球面距离是 .
?R 37．设一个扇形的半径为3cm，圆心角为120?，用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的体积是_________cm．
322? 3
28．已知直线l1:4x?3y?6?0和直线l2:x?1?0，则抛物线y?4x上的动点P到直线
l1和l2的距离之和的最小值为___________.2
9．已知双曲线方程x?y?2，则过点P(1,0)和双曲线只有一个交点的直线有________条.4
10．如图1，一个球形广告气球被一束入射角为30?的平行光线照射，其投影是一个最长的
22弦长为5米的椭圆，则制作这个广告气球至少需要的面料是__________m.
275? 4
11．设正三棱锥P?ABC的高为2，侧棱与底面ABC成45?角，则点A到侧面PBC的距离为_______．
65 5x2y212．已知椭圆2?2?1(a?b?0)的两个焦点为F1,F2,以F1F2为边作正三角形，若椭
ab圆恰好平分正三角形的另外两条边，且F1F2?4，则a等于________.3?1(4?23不扣分)
13．如图2，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，?ACB?90?，AC?6，BC?CC1?2，
P是BC1上一动点，则CP?PA1的最小值是__________．52
14．在直角坐标平面xOy中，已知两定点F1(?1,0)与F2(1,0)位于动直线l:ax?by?c?0的同侧，设集合P??l|点F1与点F2到直线l的距离之和等于2?，则由Q中的所有点所组成的图形的面积是_________.? Q??(x,y)|(x,y)?l,l?P?，
二、选择题（本大题每题5分，满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一
个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上写上代号，每题选对得4分，否则一律得零分。
15．过点(1,0)（ B ）
且与直线
x?2y?2?0平行的直线方程是
A．x?2y?1?0 B．x?2y?1?0 C．2x?y?2?0
D．x?2y?1?0
os??isin?（??R,i是虚数单位）16．若z?c，则z?2?2i的最小值是 （ D ）
A．22 B． 2 C．22?1 D．22?1
17．动圆C经过点F(1,0)并且与直线x??1相切，若动圆C与直线y?x?22?1总有
公
共
点
，
则
圆
C的面积
（ D ）
A．有最大值8? B．有最小值2? C．有最小值3? D．有最小值4?
18．正方体ABCD?A1B1C1D1的面BCC1B1内有一点M，满足?MD1D??BD1D,则点
M（ C ）
的轨迹是
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸
的相应区域内写出必须的步骤。
19．（本题满分12分）
已知复数z满足：z?5且(3?4i)?z是纯虚数，求复数z. 解：设z?x?yi(x,y?R) …… 1分
?z?5
?x?y?25① …… 3分
又?(3?4i)?z?(3?4i)?(x?yi)?(3x?4y)?(4x?3y)i是纯虚数 …… 5分
22?3x?4y?0，且4x?3y?0② …… 7分
解①②可得??x?4?x??4或者? …… 11分
?y?3?y??3?z?4?3i或者z??4?3i …… 12分
20．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知抛物线E:x2?4y．
（1）若直线y?x?1与抛物线E相交于P,Q两点，求PQ弦长；
BC边过定点N(0,2)，（2）已知?ABC的三个顶点在抛物线E上运动.若点A在坐标原点，
点M在BC上且AM?BC?0，求点M的轨迹方程．
?x2?4y2解：（1）?得x?4x?4?0，…… 2分
?y?x?1所以PQ?242?4?(?4)?8 …… 6分
（注：用其他方法也相应给分）
（2）设点M的坐标为(x,y),由BC边所在的方程过定点N(0,2),
?AM?(x,y),MN?(?x,2?y) …… 8分
?AM?BC?0 ?AM?MN?0,
所以?x?x?y(2?y)?0, 即y2?x2?y?0(y?0) …… 14分
(注:没写y?0扣1分)
21．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图3，圆柱的轴截面ABCD为正方形，O?、O分别为上、下底面的圆心，E为上底面圆周上一点，已知?DO?E?60?，圆柱侧面积等于16?． （1）求圆柱的体积V；
（2）求异面直线BE与DO所成角?的大小．
解：（1）设圆柱的底面半径为r，由题意， 2??r?2r?16?
D E O’ C
?r?2．…… 2分
A ?V??r2?2r?16?． …… 6分
DO， （2）连接O?B，由于O?B∥
??EBO?即为异面直线BE与DO所成角 (或其补角)，…8分
过点E作圆柱的母线交下底面于点F，连接FB,FO
由圆柱的性质，得?EFB为直角三角形，四边形EO?OF为矩形
O 图3
B
O?B?DO?25，
由?DO?E?60?，由等角定理，得?AOF?60? 所以?BOF?120? 可解得BF?23， 在Rt?EFB中，BE?EF2?FB2?27
BE2?BO?2?EO?21135?由余弦定理，cos?O?BE?… 13分
2BO?EO?701135．…… 14分 ?异面直线BE与DO所成角arccos7022．（本题满分16分）第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分．
定义：我们把椭圆的焦距与长轴的长度之比即e?的离心率e相同，称这两个椭圆相似.
c，叫做椭圆的离心率.若两个椭圆ax2y2x2??1与椭圆C2:?y2?1是否相似？并说明理由； （1）判断椭圆C1:100254x2y2x2y2?1相似，求a的值； （2）若椭圆?1:2??1(a?2)与椭圆?2:?8164a（3）设动直线l:y?kx?6与（2）中的椭圆?1交于M、N两点，试探究：在椭圆?1上是
否存在异于M、N的定点Q，使得直线QM、QN的斜率之积为定值？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，说明理由.
解：（1）e1?e2?3，相似； ……4分 2a2?48（2）?,a?22； ……8分
a4x2y2??1，得（3）设M(x1,y1)、N(x2,y2)、Q(x0,y0)、常数?，y?kx?6代入
84(1?2k2)x2?24kx?64?0，……10分
24k?x?x??2?y1?y0y2?y0?11?2k2代入???， ?x1?x0x2?x0?x?x?6412?1?2k2?2222整理得2(?x0……12分 ?y0?4)k2?24?x0k?(?x0?y0?12y0?64??36)?0，2222由?x0?y0?4??x0??x0?y0?12y0?64??36?0，……14分
得??1，Q(0,?2)或??
1，Q(0,2). ……16分 4
上海市金山中学2013-2014学年高二下学期4月阶段测试（月考）数学试题Word版含答案
