（江苏专用）高考数学大一轮复习第五章平面向量、复数5.3平
面向量的数量积教案（含解析）
§5.3 平面向量的数量积
考情考向分析 主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系．一般以填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题．
1．向量的夹角
→→
已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]． 2．平面向量的数量积
定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b |a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积 投影 几何意义
拓展：向量数量积不满足： ①消去律，即a·b＝a·c?b＝c； ②结合律，即(a·b)·c?a·(b·c)． 3．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)＝λa·b. (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
结论 模 几何表示 |a|＝a·a cosθ＝坐标表示 |a|＝x1＋y1 22夹角 a·b |a||b|a·b＝0 |a·b|≤|a||cosθ＝x1x2＋y1y2 222x＋y1x2＋y221a⊥b的充要条件 |a·b|与|a||b|的关系
概念方法微思考 x1x2＋y1y2＝0 |x1x2＋y1y2|≤?x1＋y1??x2＋y2? 2222b| 1．a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相同吗？
提示 不相同．因为a在b方向上的投影为|a|cosθ，而b在a方向上的投影为|b|cosθ，其中θ为a与b的夹角．
2．两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？ 提示 不一定．当夹角为0°时，数量积也大于0.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( √ ) (2)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.( × ) (3)(a·b)c＝a(b·c)．( × )
?π?(4)两个向量的夹角的范围是?0，?.( × )
2??
(5)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．( × )
题组二 教材改编
2．[P90T18]已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________. 答案 12
解析 ∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)， 由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0， ∴10＋2－k＝0，解得k＝12.
π
3．[P89T8]已知两个单位向量e1，e2的夹角为.若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2
3＝________.
答案 －6
解析 b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2， 则b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2) ＝3e1－2e1·e2－8e2.
π
因为e1，e2为单位向量，〈e1，e2〉＝，
31
所以b1·b2＝3－2×－8＝3－1－8＝－6.
2
题组三 易错自纠
4．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________. 答案 23
解析 方法一 |a＋2b|＝?a＋2b?
＝a＋4a·b＋4b＝2＋4×2×1×cos60°＋4×1 ＝12＝23. 方法二 (数形结合法)
→
由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝|OC|.
又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝23.
2
2
2
2
2
2
2
5．已知|a|＝3，|b|＝2，若a·b＝－3，则a与b的夹角的大小为________． 答案
2π 3
a·b－31
解析 设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－.
|a||b|3×22
2π
又0≤θ≤π，所以θ＝. 3
→→→
6．已知△ABC的三边长均为1，且AB＝c，BC＝a，CA＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝________. 3
答案 －
2
解析 ∵〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝120°，|a|＝|b|＝|c|＝1， 1
∴a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos120°＝－，
2
(江苏专用)高考数学大一轮复习第五章平面向量、复数5.3平面向量的数量积教案(含解析)
