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x3＝(x1＋x2)＝[m(y1＋y2)－2]＝－2
2
3m114
3m2＋4
，
?4?1
?，令y＝0，得xD＝－2， 所以直线CD：y－＝－m?x＋2＋43m3m2＋43m＋4??
3?m2＋1?
则DF1＝－－(－1)＝，
3m2＋43m2＋4
1
所以
DF13?m2＋1?12?m2＋1?1AB＝3m2＋4
÷
3m2＋4
＝为定值．
4
点评 对于直线与圆锥曲线的相交问题，熟悉下面的结论对降低运算量，提高解题效率很有帮助：
(1)直线l：y＝kx＋m(简称“y类结论”)：
曲线 结论 x2a2＋y2b2＝1(a＞bx2a2－y2b2＝1(ay2＝2px(p＞0) ＞0) ＞0，b＞0) (a2k2－b2) x2＋2kma2x＋联立整理(主要结论1) (a2k2＋b2) x2＋2kma2x＋a2(m2－b2)＝0 k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0 a2(m2＋b2)＝0 4a2b2(－a2k2＋b2＋m2) Δ(主要结论2) 4a2b2(a2k2＋b2－m2) －2kma2 4p(p－2km) x1＋x2 a2k2＋b2－2kma2a2k2－b2 2?km－p?－ 2kx1x2 a2?m2－b2?a2k2＋b2 a2?m2＋b2?a2k2－b2·|a2k2－b2| m2k2 AB(主要结论3) k2＋1k2＋1a2k2＋b2·Δ k2＋1k2·Δ Δ (2)直线l：x＝my＋t(简称“x类结论”)： 灿若寒星
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曲线 结论 x2a2＋y2b2＝1(a＞bx2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0) y2＝2p x(p＞0) ＞0) (b2m2＋a2) y2＋2mtb2y＋b2(t2－联立整理(主要结论1) (b2m2－a2) y2＋2mtb2y＋b2(t2－y2－2 mpy－2pt＝0 a2) ＝0 4a2b2(b2m2＋a2－t2) －2mtb2 a2) ＝0 4a2b2(b2m2－a2＋t2) －2mtb2 Δ(主要结论2) 4p(m2p＋2t) y1＋y2 b2m2＋a2b2m2－a22mp y1y2 b2?t2－a2? b2m2＋a2m2＋1b2m2＋a·2b2?t2－a2? b2m2－a2·|b2m2－a2|－2pt AB (主要结论3) Δ m2＋1Δ m2＋1·Δ [对点训练] (2018·张掖模拟)已知椭圆C：2＋
x2
a1
＝1(a＞b＞0)的离心率为，右焦点为F，右顶点b22
y2
5→→→
为E，P为直线x＝a上的任意一点，且(PF＋PE)·EF＝2.
4
(1)求椭圆C的方程；
(2)过F且垂直于x轴的直线AB与椭圆交于A，B两点(点A在第一象限)，动直线l与椭圆C交于M，N两点，且M，N位于直线AB的两侧，若始终保持∠MAB＝∠NAB，求证：直线MN的斜率为定值．
?5?a，m?，又F(c,0)，E(a,0)， 解析：(1)设P?4??
?5?→?a?→
则PF＝?c－a，－m?，PE＝?－，－m?，EF＝(c－a，0)，
?4??4?
→
所以(2c－3a)(c－a)＝4.
灿若寒星
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c1
又e＝＝，所以a＝2，c＝1，b＝
a2
从而椭圆C的方程为＋＝1.
43
3，
x2y2
?3?
(2)证明：由(1)知A?1，?，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的方程为y＝kx＋m，代
?2?
入椭圆方程＋＝1，
43
得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
x2y2
?
?x＋x＝－8km，
4k＋3则?
m－12
?xx＝44，
k＋3?
1
2
22
12
2
Δ＞0，
又M，N是椭圆上位于直线AB两侧的动点，若始终保持∠MAB＝∠NAB，则kAM＋kAN＝0，
33
y1－y2－
22??3?3?即＋＝0，则?kx1＋m－?(x2－1)＋?kx2＋m－?(x1－1)＝0，整理得(2k－
2?2?x1－1x2－1??11
1)(2m＋2k－3)＝0，得k＝.故直线MN的斜率为定值.
22
授课提示：对应学生用书第147页
灿若寒星
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1．若椭圆2＋
x2y2b2
a＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2＝
2bx的焦点F分成了3∶1的两段．
(1)求椭圆的离心率；
→→
(2)过点C(－1,0)的直线l交椭圆于不同两点A，B，且AC＝2CB，当△AOB的面积最大时，求直线l的方程．
解析：(1)由题意知，c＋b2＝3???c－b?
2??
，
所以b＝c，a2＝2b2， 所以e＝c＝1－??b?a22?a??
＝2. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝ky－1(k≠0)，
因为AC→＝2CB→
，所以(－1－x1，－y1)＝2(x2＋1，y2)，即y1＝－2y2， 由(1)知，椭圆方程为x2＋2y2＝2b2.
由???x＝ky－1，??x2＋2y2＝2b2
消去x，
得(k2＋2)y2－2ky＋1－2b2＝0， 所以y2k1＋y2＝
k2＋2
， ② 由①②知，y2k2＝－
k2＋2，y4k1
＝k2＋2
， 因为S11
△AOB＝2|y1|＋2|y2|，
所以S△AOB＝3·
|k|
k2＋2
＝3·
12
|k|
＋|k|
灿若寒星
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≤3·
2
12
＝
34
2
，
·|k||k|
当且仅当|k|2＝2，即k＝±此时直线l的方程为x－
2时取等号，
2y＋1＝0.
2y＋1＝0或x＋
2．(2018·石家庄摸底)已知椭圆C：2＋
x2y2b2
a＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A、B，
3
且长轴长为8，T为椭圆上任意一点，直线TA，TB的斜率之积为－.
4
(1)求椭圆C的方程；
→→→→
(2)设O为坐标原点，过点M(0,2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求OP·OQ＋MP·MQ的取值范围．
解析：(1)设T(x，y)，由题意知A(－4,0)，B(4,0)， 设直线TA的斜率为k1，直线TB的斜率为k2， 则k1＝
，k2＝. x＋4x－4
yy3yy3
由k1k2＝－，得·＝－，
4x＋4x－44整理得
＋＝1. 1612
＋＝1. 1612
x2y2
故椭圆C的方程为
x2y2
(2)当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋2，点P，Q的坐标分别为
??16＋12＝1，
(x，y)，(x，y)，联立方程?
??y＝kx＋2
1
1
2
2
x2y2
消去y，得(4k2＋3)x2＋16kx－32＝0.
灿若寒星
高考数学二轮复习专题提能五解析几何综合问题中优化运算的提能策略教案理
