高中数学第一章常用逻辑用语1-2充分条件与必要条件学案含解析新人教A版选修1_1

由天下分享时间：2025/3/4 12:28:58 加入收藏我要投稿点赞

凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。

高中数学第一章常用逻辑用语1-2充分条件与必要条件

学案含解析新人教A版选修1_1

充分条件与必要条件 [提出问题]

在物理中，我们经常遇到这样的电路图：问题1：图中A开关闭合时B灯一定亮吗？提示：一定亮．

问题2：B灯亮时A开关一定闭合吗？提示：不一定，还可能是C开关闭合． [导入新知]

充分条件与必要条件

命题真假推出关系条件关系 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 p?q p是q的充分条件 q是p的必要条件 pq p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 [化解疑难]

1．p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立，但是如果没有p，q也可能成立”．

2．q是p的必要条件是指“要使p成立必须要有q成立”，或者说“若q不成立，则p一定不成立”；但即使有q成立，p未必会成立.

充要条件邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。

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[提出问题]

如图是一物理电路图．

问题1：图中开关A闭合，灯泡B亮；反之灯泡B亮，开关A一定闭合吗？

提示：一定闭合．

问题2：开关A闭合作为命题的条件p，灯泡B亮作为命题的结论q，你能判断p，q之间的推出关系吗？

提示：p?q. [导入新知]

充要条件

如果既有p?q，又有q?p，记作p?q.则p是q的充分必要条件，简称充要条件．

[化解疑难]

p是q的充要条件时，q也是p的充要条件，即充要条件是相互的，我们也称条件p和条件q是等价的，如果p和q是两个命题，则这两个命题是等价命题．

充分条件、必要条件、充要条件的判断 [例1] 判断下列各题中p是q的什么条件． (1)在△ABC中，p：cos2A＝cos2B，q：A＝B； (2)p：x＞1，q：x2＞1；

(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3； (4)p：a＜b，q：＜1.

[解] (1)在△ABC中，A∈(0，π)，B∈(0，π)，且A＋B＋C＝π.若cos2A＝cos2B，则A＝B；反之，若A＝B，则cos2A＝cos2B.因此，p是q的充要条件．

邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。2 / 15

(2)由x＞1可以推出x2＞1；由x2＞1，得x＜－1，或x＞1，不一定有x＞1.因此，p是q的充分不必要条件．

(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2，或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件．

(4)由于a＜b，当b＜0时，＞1；

当b＞0时，＜1，故若a＜b，不一定有＜1；当a＞0，b＞0，＜1时，可以推出a＜b；当a＜0，b＜0，＜1时，可以推出a＞b. 因此p是q的既不充分也不必要条件． [类题通法]

充分、必要、充要条件的判断方法

判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件，同时要注意反证法的运用．

[活学活用]

指出下列各组命题中p是q的什么条件．

(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形； (2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0. 解：(1)∵四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，∴p是q的既不充分也不必要条件．

(2)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0?x＝1且y＝2?(x－1)·(y－2)＝

邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。3 / 15