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11(n?1)?n1???， nn?1n(n?1)n(n?1)111?? ∴（其中n是正整数）成立．
n(n?1)nn?1（1）证明：∵（2）解：由（1）可知
111 ???1?22?39?1011111 ?(1?)?(?)??(?)
22391019 ?1?＝．
1010111???（3）证明：∵ 2?33?4n(n?1)111111 ＝(?)?(?)??(?)
2334nn?111 ＝?，
2n?1
又n≥2，且n是正整数，
1
∴ 一定为正数，
n＋1 ∴例3 设e?11??2?33?4?11
＜ ．
n(n?1)2
c，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值． a解：在2c2－5ac＋2a2＝0两边同除以a2，得 2e2－5e＋2＝0， ∴(2e－1)(e－2)＝0，
1
∴e＝ ＜1，舍去；或e＝2． ∴e＝2．
2
练习A
1．填空题：
对任意的正整数n，2．选择题：
111? (?)；
n(n?2)nn?22x?y2x?，则＝ （ ） x?y3y546 （A）１ （B） （C） （D）
455x?y223．正数x,y满足x?y?2xy，求的值．
x?y若 4．计算
1111???...?． 1?22?33?499?100习题1．1
A 组
1．解不等式：x?1?3
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33２．已知x?y?1，求x?y?3xy的值．
3．填空：
1819（1）(2?3)(2?3)＝___________________；
（2）若(1?a)2?(1?a)2?2，则a的取值范围是____________________；
11111?????____________________．
1?22?33?44?55?63a2?ab11?____ ______________； 4．填空：a?，b?，则23a?5ab?2b223yy11?5．已知：x?,y?，求的值．
23x?yx?y（3）
B 组
1．选择题：
?b??a，则 （ ）
（A）a?b （B）a?b （C）a?b?0 （D）b?a?0
1（2）计算a?等于 （ ）
a（A）?a （B）a （C）??a （D）?a
11112．计算：． ????1?32?43?59?11
（1）若?a?b?2ab? 1．2 分解因式
一、复习引申：因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．
1．十字相乘法
例1 分解因式：
（1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12； （3）x?(a?b)xy?aby； （4）xy?1?x?y．
解：（1）如图1．2－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．
--------
22------WORD格式--可编辑-----
－1 x
x －2
图1．2－1
1 1
－1 －2
1 1
－2 6
x x
－ay －by
x y
－1 1
图1．2－2
图1．2－3
图1．2－4 图1．2－5
说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x用1来表示（如图1．2－2所示）．
（2）由图1．2－3，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．
（3）由图1．2－4，得 x?(a?b)xy?aby＝(x?ay)(x?by) （4）xy?1?x?y＝xy＋(x－y)－1＝(x－1) (y+1) （如图1．2－5所示）． 2．提取公因式法与分组分解法 例2 分解因式：
32 （1）x?9?3x?3x； （2）2x?xy?y?4x?5y?6． 32解： （1）x?9?3x?3x=(x?3x)?(3x?9)=x(x?3)?3(x?3)
3222222 =(x?3)(x?3)．
32 或x?9?3x?3x＝(x?3x?3x?1)?8＝(x?1)?8＝(x?1)?2
323332 ＝[(x?1)?2][(x?1)?(x?1)?2?2]
＝(x?3)(x?3)． 二次项 一次项 常数项
（2）2x?xy?y?4x?5y?6=(2x?xy?y)?(4x?5y)?6 =(2x?y)(x?y)?(4x?5y)?6 =(2x?y?2)(x?y?3)．
3．关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解． 例3 把下列关于x的二次多项式分解因式：
2（1）x?2x?1； （2）x?4xy?4y．
2222222222x-y 2 x+y -3
22若关于x的方程ax?bx?c?0(a?0)的两个实数根是x1、x2，则二次三项式ax?bx?c(a?0)就可分解为a(x?x1)(x?x2).
解： （1）令x?2x?1=0，则解得x1??1?2，x2??1?2，
∴x?2x?1=?x?(?1?2)??x?(?1?2)?
2??? =(x?1?2)(x?1?2)．
222?（2）令x?4xy?4y=0，则解得x1?(?2?22)y，x1?(?2?22)y，
22 ∴x?4xy?4y=[x?2(1?2)y][x?2(1?2)y]．
二、练习A 1．选择题：
多项式2x?xy?15y的一个因式为 （ ）
（A）2x?5y （B）x?3y （C）x?3y （D）x?5y 2．分解因式：
（1）x2＋6x＋8； （2）8a3－b3；
（3）x2－2x－1； （4）4(x?y?1)?y(y?2x)．
练习B组
1．分解因式：
（1） a?1； （2）4x?13x?9；
32242--------
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（3）b?c?2ab?2ac?2bc；
2．在实数范围内因式分解：
2（1）x?5x?3 ； （2）x?22x?3；
222
（3）3x?4xy?y；
3．分解因式：x2＋x－(a2－a)．
22
2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式
一、概念：我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为
b2b2?4ac)? (x?． ① 22a4a因为a≠0，所以，4a2＞0．于是 （1）当
b2－4ac＞0
?b?b2?4ac时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 x1，2＝；
2a（2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝－
b； 2a（3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边(x?b2)一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根． 2a由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有
?b?b2?4ac（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根 x1，2＝；
2ab（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝－；
2a（3）当Δ＜0时，方程没有实数根． 二、典型例题：
例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根． （1）x2－3x＋3＝0； （2）x2－ax－1＝0； （3） x2－ax＋(a－1)＝0； （4）x2－2x＋a＝0． 解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．
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（2）该方程的根的判别式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根
a?a2?4， x1?2a?a2?4． x2?2
（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2， 所以，
①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1；
②当a≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根x1＝1，x2＝a－1． （4）由于该方程的根的判别式为 Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)，
所以①当Δ＞0，即4(1－a) ＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根
x1?1?1?a， x2?1?1?a；
②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1； ③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根．
说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．
2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
一、概念：1、若一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根
?b?b2?4ac?b?b2?4ac x1?，x2?， 则有
2a2a?b?b2?4ac?b?b2?4ac?2bb????； x1?x2?2a2a2aa?b?b2?4ac?b?b2?4acb2?(b2?4ac)4acc???2?． x1x2?22a2a4a4aa
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝?bc，x1·x2＝．这一关系也被称为韦达定理．
aa2、特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知 x1＋x2＝－p，x1·x2＝q， 即 p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，
所以，方程x2＋px＋q＝0可化为 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是
一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0的两根，因此有
以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0． 二、典型例题：
例2 已知方程5x2?kx?6?0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值．
解法一：∵2是方程的一个根，
∴5×22＋k×2－6＝0， ∴k＝－7．
所以，方程就为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－所以，方程的另一个根为－
3． 53，k的值为－7． 563，∴x1＝－． 55解法二：设方程的另一个根为x1，则 2x1＝－
3k）＋2＝－，得 k＝－7． 553所以，方程的另一个根为－，k的值为－7．
5由 （－
例3 已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值． 分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．
解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得 x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．
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2024届初高中数学衔接知识点与习题
