掌门1对1教育 高考真题
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2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)
数 学 (文科)
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前考生将自己的姓名\\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合M?{x|?3?x?1}，N?{?3,?2,?1,0,1}，则MN?（ ）
（A）{?2,?1,0,1} （B）{?3,?2,?1,0} （C）{?2,?1,0} （D）{?3,?2,?1} 【答案】C
【解析】因为M?{x?3?x?1}，N?{?3,?2,?1,0,1},所以MN?{?2,?1,0}，选C.
2、
2?（ ） 1?i（A）22 （B）2 （C）2 （D）1 【答案】C 【解析】
222(1?i)2(1?i)?2，选C. ???1?i，所以
1?i1?i(1?i)(1?i)2?x?y?1?0,?3、设x,y满足约束条件?x?y?1?0,，则z?2x?3y的最小值是（ ）
?x?3,?（A）?7 （B）?6 （C）?5 （D）?3 【答案】B
2z,平移直x?。作出可行域如图
332z2z2z线y?x?，由图象可知当直线y?x?经过点B时，直线y?x?的截距最大，此
333333【解析】由z=2x-3y得3y=2x-z，即y?时z取得最小值，由??x?y?1?0?x?3得?，即B(3,4),代入直线z=2x-3y得
?x?3?y?4z?3?2?3?4??6，选B.
4、?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b?2，B?面积为（ ）
（A）23?2 （B）3?1 （C）23?2 （D）3?1 【答案】B 【解析】因为B??6，C??4，则?ABC的
?6,C??4,所以A?以三角形的面积
bc7??.由正弦定理得，解得c?22。所??12sinsin64117?为.因为bcsinA??2?22sin2212，
所
以
sin7???3221231?sin(?)?????(?)123422222221231bcsinA?22?(?)?3?1，选B. 2222x2y25、设椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1,F2，P是C上的点，PF2?F1F2，
ab?PF1F2?30，则C的离心率为（ ）
（A）1133 （B） （C） （D）
3263【答案】D
【解析】因为PF2?F1F2,?PF1F2?30,所以PF2?2ctan30?2343c,PF1?c。又33PF1?PF2?c13633?，即椭圆的离心率为，选D. c?2a，所以?a3333
2?2，则cos(??)?（ ） 341112（A） （B） （C） （D）
63236、已知sin2??【答案】A
?1?cos2(??4)1?cos(2??2)1?sin2?2【解析】因为cos(??)?，所以??422221??1?sin2?3?1，选A. cos2(??)??42267、执行右面的程序框图，如果输入的N?4，那么输出的S?（ ）
111111（A）1??? （B）1?? ?23423?24?3?211111111（C）1???? （D）1?? ??234523?24?3?25?4?3?2【答案】B
【解析】第一次循环，T?1,S?1,k?2；第二次循环，T?第三次循环，T???11,S?1?,k?3；22111,S?1??,k?4，第四次循环，2?322?31111T?,S?1???,k?5，此时满足条件输出
2?3?422?32?3?4111S?1???，选B.
22?32?3?48、设a?log32，b?log52，c?log23，则（ ）
（A）a?c?b （B）b?c?a （C）c?b?a （D）c?a?b 【答案】D
【解析】因为log32?11?1，log52??1，又log23?1，所以c最大。又log23log2511，即a?b，所以c?a?b，选D. ?log23log251?log23?log25，所以
9、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O?xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，
(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为
（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】A
【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体O?ABC的直观图，以zOx平面为投影面，则
得到正视图(坐标系中红色部分),所以选A.
10、设抛物线C:y2?4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，若|AF|?3|BF|，B两点。则l的方程为（ ）
（A）y?x?1或y??x?! （B）y?33(x?1)或y??(x?1) 3322(x?1)或y??(x?1) 22（C）y?3(x?1)或y??3(x?1) （D）y?【答案】C
【解析】抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则因为|AF|=3|BF|，所以x1+1=3（x2+1），所以x1=3x2+2 因为|y1|=3|y2|，x1=9x2，所以x1=3，x2=
12，当x1=3时，y1?12，所以此时y1??12??23，3若y1?23，则A(3,23),B(,?1323),此时kAB?3,此时直线方程为y?3(x?1)。若3123y1??23，则A(3,?23),B(,),此时kAB??3,此时直线方程为y??3(x?1)。
33所以l的方程是y?3(x?1)或y??3(x?1)，选C.
3211、已知函数f(x)?x?ax?bx?c，下列结论中错误的是（ ） （A）?x0?R，f(x0)?0
（B）函数y?f(x)的图象是中心对称图形
（C）若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(??,x0)单调递减
（D）若x0是f(x)的极值点，则f'(x0)?0 【答案】C
【解析】若c?0则有f(0)?0，所以A正确。由f(x)?x3?ax2?bx?c得，所以f(x)?c?x3?ax2?bx，因为函数y?x3?ax2?bx的对称中心为（0,0）
f(x)?x3?ax2?bx?c的对称中心为(0,c),所以B正确。由三次函数的图象可知，若x0是
f(x)的极小值点，则极大值点在x0的左侧，所以函数在区间（-∞, x0）单调递减是错误的，D正确。选C.
12、若存在正数x使2x(x?a)?1成立，则a的取值范围是（ ）
（A）(??,??) （B）(?2,??) （C）(0,??) （D）(?1,??) 【答案】D
【解析】因为2?0，所以由2x(x?a)?1得x?a?x1?x，在坐标系中，作出函数?2x2f(x)?x?a,g(x)?2?x的图象，当x?0时，g(x)?2?x?1，所以如果存在x?0，使
2x(x?a)?1，则有?a?1，即a??1，所以选D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是_______。 【答案】
1 52【解析】从5个正整中任意取出两个不同的数，有C5?10种，若取出的两数之和等于5，则有(1,4),(2,3)，共有2个，所以取出的两数之和等于5的概率为
21?。 105（14）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE?BD?_______。 【答案】2
【解析】在正方形中，AE?AD?1DC,BD?BA?AD?AD?DC,所以222111AE?BD?(AD?DC)?(AD?DC)?AD?DC?22??22?2。
22232，底面边长为3，则以O为球心，OA为半2（15）已知正四棱锥O?ABCD的体积为径的球的表面积为________。 【答案】24?
【解析】设正四棱锥的高为h，则?(3)h?1323232，解得高h?。则底面正方形的对22角线长为
2?3?6，所以OA?(3226)?()2?6,所以球的表面积为224?(6)2?24?.
（16）函数y?cos(2x??)(??????)的图象向右平移
?2个单位后，与函数
y?sin(2x?)的图象重合，则??_________。
35?【答案】
6【解析】函数y?cos(2x??)，向右平移向左平移
??2个单位，得到y?sin(2x??)，即y?sin(2x?)33??2个单位得到函数y?cos(2x??)，y?sin(2x??3)向左平移
?2个单位，得
y?sin[2(x?)?]?sin(2x???)??sin(2x?)?cos(?2x?)
2333235?5??cos(2x?)，即??。
66三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
已知等差数列{an}的公差不为零，a1?25，且a1,a11,a13成等比数列。 （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）求a1?a4+a7?????a3n?2；
??????
（18）如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，。
（Ⅰ）证明：BC1//平面ACD11；
（Ⅱ）设AA1?AC?CB?2，AB?22，求三棱锥C?A1DE的体积。
（19）（本小题满分12分）
经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的
A1B1ADBEC1C产品，每1t亏损300元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示。经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品。以X（单位：t，100?X?150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。 （Ⅰ）将T表示为X的函数；
（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；
（20）(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为23。
（Ⅰ）求圆心P的轨迹方程； （Ⅱ）若P点到直线y?x的距离为
（21）（本小题满分12分）
已知函数f(x)?xe。 （Ⅰ）求f(x)的极小值和极大值；
（Ⅱ）当曲线y?f(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围。
2?x2，求圆P的方程。 2
请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号。 （22）（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲 如图，CD为?ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC?AE?DC?AF，B、E、F、C四点共圆。
（Ⅰ）证明：CA是?ABC外接圆的直径；
（Ⅱ）若DB?BE?EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与?ABC外接圆面积的比值。
（23）（本小题满分10分）选修4——4；坐标系与参数方程
?x?2cost,C:已知动点P、Q都在曲线（t为参数）上，对应参数分别为t=?与t=2??y?2sint?（0???2?），M为PQ的中点。
（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程；
（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为?的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点。
（24）（本小题满分10分）选修4——5；不等式选讲 设a、b、c均为正数，且a?b?c?1，证明：
1a2b2c2（Ⅰ）ab?bc?ac?；（Ⅱ）???1
3bca
2013年新课标2卷文科数学高考真题及答案 - 图文
