等差数列及其前n项和
【教学目标】
1.理解等差数列的概念．
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列有关知识解决相应的问题． 4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系. 【重点难点】
1.教学重点：理解等差数列的概念并掌握等差数列的通项公式与前n项和公式 2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力； 【教学策略与方法】
自主学习、小组讨论法、师生互动法 【教学过程】 教学流程 教师活动 考纲传真: 1.理解等差数列的概念．2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列有关知识解决相应的问题．4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系. 真题再现; 1． (2013·课标全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列． (1)求{an}的通项公式； (2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2. 【解】 (1)设{an}的公差为d，由题意得a11＝a1a13，即(a1＋10d)＝a1(a1＋12d)．于是d(2a1＋25d)＝0.又22学生活动 。 学生通过对高考真题的解决，发现自己对知识的掌握情况。 设计意图 通过对考纲的解读和分析。让学生明确考试要求，做到有的放矢 a1＝25，所以d＝0(舍去)，d＝－2.故an＝－2n＋27. (2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的 等差数列．从而Sn＝(a1＋a3n－2)＝(－6n＋56)＝－3n＋2228n. 知识梳理： 知识点1 等差数列 nn2 1
1．定义：an＋1－an＝d(常数)(n∈N)． 2．通项公式：an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d. 3．前n项和公式：Sn＝na1＋4．a，b的等差中项A＝* . 2
nn－1dna1＋an2. ＝2a＋b2知识点2 等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． (1)若m，n，p，q，k是正整数，且m＋n＝p＋q＝2k， 则am＋an＝ap＋aq＝2ak. (2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd. (3)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}是等差数列． (4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，也是等差数列． (5)若数列{an}的前n项和为Sn，则S2n－1＝(2n－1)an， S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)． 名师点睛： 1．必会结论 (1)等差数列的增减性：d＞0时为递增数列，且当a1＜0时，前n项和Sn有最小值，d＜0时为递减数列，且当a1＞0时，前n项和Sn有最大值． (2)数列{an}的前n项和Sn＝An＋Bn(A≠0)是{an}成等差数列的充分条件． (3)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的2anS2n－1关系为＝. bnT2n－1(4)若数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列， 则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2. 2．必知联系；(1)当公差d≠0时，等差数列的通项公式是n的一次函数，当公差d＝0时，an为常数． (2)公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列． 考点分项突破
考点一：等差数列的基本运算 1．(2015·重庆高考)在等差数列{an}中，若a2＝4， 学生通过对高考真题的解决，感受高考题的考察视角。 3
a4＝2，则a6＝( ) A．－1 B．0 C．1 D．6 【解析】 ∵{an}为等差数列，∴2a4＝a2＋a6，∴a6＝2a4－a2，即a6＝2×2－4＝0.【答案】 B 2．(2015·陕西高考)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为__________． 【解析】 设数列首项为a1，则故a1＝5.【答案】 5 归纳： 1．等差数列运算问题的通性通法 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解． (2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题． 2．等差数列前n项和公式的应用方法 根据不同的已知条件选用两个求和公式，如已知首项和公差，则使用公式Sn＝na1＋项公式，则使用公式Sn＝a1＋2 0152＝1 010， nn－122. d，若已知通 na1＋an考点二:等差数列的判定与证明 (1)设an＝(n＋1)，bn＝n－n(n∈N)，则下列命题中不正确的是( ) A．{an＋1－an}是等差数列 B．{bn＋1－bn}是等差数列 C．{an－bn}是等差数列 D．{an＋bn}是等差数列 22* (2)(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{an}的前n项和为Sn， a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数． ①证明：an＋2－an＝λ； 环节二： ②是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由． 【解析】 (1)对于A，∵an＝(n＋1)，∴an＋1－an＝(n＋2)－(n＋1)＝2n＋3，设cn＝2n＋3，∴cn＋1－cn＝2.∴{an＋1－an}是等差数列．故A正确．对于B，∵bn＝n－n(n∈N)，∴bn＋1－bn＝2n，设cn＝2n，∴cn＋1－cn＝2，∴{bn＋1－bn}是等差数列．故B正确． 对于C，∵an＝(n＋1)，bn＝n－n(n∈N)，∴an－bn2222*2*222 4
＝(n＋1)－(n－n)＝3n＋1，设cn＝an－bn＝3n＋1， ∴cn＋1－cn＝3，∴{an－bn}是等差数列．故C正确． 对于D，an＋bn＝2n＋n＋1，设cn＝an＋bn， 2 cn＋1－cn不是常数．故D错误．【答案】 D (2)①证明：由题设知anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1，由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.②由题设知a1＝1，a1a2＝λS1－1， 可得a2＝λ－1.由①知，a3＝λ＋1，令2a2＝a1＋a3， 解得λ＝4.故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2，因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列． 跟踪训练：(2014·大纲全国卷)数列{an}满足a1＝1， a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2. (1)设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列； (2)求{an}的通项公式． 【解】 (1)证明：由an＋2＝2an＋1－an＋2得 an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，即bn＋1＝bn＋2. 又b1＝a2－a1＝1，所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，即an＋1－an＝2nnn－1.于是? (ak＋1－ak)＝? (2k－1)，所以an＋1－a1k＝1k＝1＝n，即an＋1＝n＋a1.又a1＝1，所以{an}的通项公式22
为an＝n－2n＋2. 归纳：等差数列的四个判定方法 1．定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数． 2．等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列． 3．通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列． 4．前n项和公式法：得出Sn＝An＋Bn后，根据Sn，22 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。 由常见问题的解决和总结，使学生形成解题模块，提高模式识别能力和解题效率。 5
an的关系，得出an，再使用定义法证明数列{an}为等 差数列． 考点三: 等差数列性质的应用 (1)(2015·广东高考)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋
a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________. (2)已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项和S10＝________. (3)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n＞6)，求数列{an}的项数及a9＋a10. 【解析】 (1)因为等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，所以5a5＝25，即a5＝5.所以a2＋a8＝2a5＝10. (2)∵a2＋a4＝2a3＝4，∴a3＝2，又a3＋a5＝2a4＝10，∴a4＝5，∴d＝a4－a3＝3，又a3＝a1＋2d＝2，∴a1＝10×9－4，S10＝10×(－4)＋×3＝95. 2【答案】 (1)10 (2)95 (3)由题意知a1＋a2＋…＋a6＝36，① an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，② ①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1
高考数学一轮复习第五章数列5.2等差数列及其前n项和教案.doc
