三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与
诱导公式
题组 三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式
1.[2015陕西,6,5分][文]“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.[2014新课标全国Ⅰ,2,5分][文]若tan α>0,则 A.sin α>0 C.sin 2α>0
B.cos α>0 D.cos 2α>0
5π
1
( )
3.[2013广东,4,5分][文]已知sin(2+α)=5,那么cos α= ( )
A.-5 B.-5 C.5 D.5
4.[2017北京,9,5分][文]在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=3,则sin β= .
5.[2016全国卷Ⅰ,14,5分][文]已知θ是第四象限角,且sin(θ+)=,则tan(θ-)= .
4
5
4
π
3
π
1
2
1
1
2
6.[2015 四川,13,5分][文]已知sin α+2cos α=0,则2sin αcos α-cos2α的值是 .
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A组基础题
1.[2018全国名校第二次大联考,3]若sin(2+θ)<0,cos(2-θ)>0,则θ是 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 2.[2018辽宁省五校联考,5]若sin(3-α)=3,则cos(3+2α)= A.9 B.3 C.-3
7
2
2
π
1
π
π
π
( )
( )
D.-9 3
sin
π+??π+??
-cos22π-??π-??sin-cos
22
7
3.[2018河南省漯河市高级中学三模,6]若sin(π+α)=5,α是第三象限角,则A. B.- C.2 D.-2
2
2
1
1
= ( )
4.[2017石家庄市二模,5]已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°,cos 150°),则α=
A.150° B.135° C.300° D.60° 5.[2017沈阳市高三三模,8]若
9
91+cos??sin??
( )
=2,则cos α-3sin α= ( )
A.-3 B.3 C.-5 D.5
6.[2017甘肃省兰州市高考诊断,13]cos2165°-sin215°= .
7.[2017河南省郑州市质量预测(一),13]在平面直角坐标系xOy中,已知角α的顶点和点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边上一点M的坐标为(1,√3),则tan(α+4)= . 8.[2017甘肃省高三二诊,14]已知tan α=3,则cos 2α= .
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π
B组提升题
9.[2018河北省衡水金卷,3]已知曲线f(x)=x3在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为α,则
3
sin2??-cos2??2sin??cos??+cos2??1
2
=
3
3
( )
A.2 B.2 C.5 D.-8
10.[2017河北二模,5]已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴正半轴重合,终边在直线y=3x上,则sin(2θ+3)= A.
3-4√310
π
( )
4-3√310
B.-
3-4√310
C. D.-
4-3√310
( )
11.[2017昆明市高三适应性检测,6]若tan θ=-2,则sin 2θ+cos 2θ= A.5 B.-5 C.5
1
1
7
D.-5 12
11
7
12.[2018陕西省西安市长安区第五中学二模,13]已知sin(5π+θ)+2sin(10π-θ)=0,则tan(+θ)= .
52π
13.[2017桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联考,14]已知sin θ+cos θ=5,θ∈(2,π),则 tan θ= .
1π
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答案
1.A 因为sin α=cos α?tan α=1?α=kπ+(k∈Z),又cos 2α=0?2α=2kπ+(k∈Z)或
4
2
π
π
3π2
π4
3π4
2α=2kπ+(k∈Z)?α=kπ+(k∈Z)或α=kπ+(k∈Z),所以sin α=cos α成立能保证cos 2α=0成立,但cos 2α=0成立不一定能保证sin α=cos α成立,所以“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的充分不必要条件,故选A.
2.C 由tan α>0,可得α的终边在第一象限或第三象限,此时sin α与cos α同号,故sin 2α= 2sin αcos α>0,故选C.
3.C sin(+α)=sin[2π+(+α)]=sin(+α)=cos α=,故选C.
2
2
2
5
5π
π
π
1
4.3 解法一 当角α的终边在第一象限时,取角α终边上的一点P1(2√2,1),其关于y轴的对称点(-2√2,1)在角β的终边上,此时sin β=3;当角α的终边在第二象限时,取角α终边上的一点P2(-2√2,1),其关于y轴的对称点(2√2,1)在角β的终边上,此时sin β=3.综合可得sin β=3. 解法二 令角α与角β均在区间(0,π)内,故角α与角β互补,得sin β=sin α=3. 解法三 由已知可得sin β=sin(2kπ+π-α)=sin(π-α)=sin α=(k∈Z).
31
1
1
1
1
1
5.- 解法一 因为sin(θ+)=,所以cos(θ-)=sin[+(θ-)]=sin(θ+)=,因为θ为第四象限角,
3
4
5
4
2
4
4
5
4π3ππππ3
所以-2+2kπ<θ<2kπ,k∈Z,所以-4+2kπ<θ-4<2kπ-4,k∈Z,所以sin(θ-4)=-√1?(5)2=-5,所以tan(θ-)=
4π
π4πcos(??-)
4π3ππππ34
sin(??-)
=-.
3
π
3
π
π
4
4
解法二 因为θ是第四象限角,且sin(θ+4)=5,所以θ+4为第一象限角,所以cos(θ+4)=5,所以tan(θ-)=
4π
π4πcos(??-)
4sin(??-)-cos[+(??-)]
=ππ24ππsin[+(??-)]24=-
cos(??+)π
4πsin(??+)
4=-.
3
2sin??cos??-cos2??sin2??+cos2??
4
6.-1 ∵sin α+2cos α=0,∴tan α=-2,∴2sin αcos α-cos2α==2tan??-1
tan2??+14+1
=-4-1
=-1.
A组基础题
1.B ∵sin(2+θ)=cos θ<0,cos(2-θ)=sin θ>0,所以θ是第二象限角,故选B.
2.D ∵sin(3-α)=3,∴cos(6+α)=3,∴cos(3+2α)=cos 2(6+α)=2cos2(6+α)-1=-9,故选D.
π
1
π
1
π
π
π
7
π
π
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35
45
3.B 由题意知sin α=-,因为α是第三象限角,所以cos α=-,所以
sin
π+??π+??
-cos22π-??π-??sin-cos
22=
cos+sin
????
22????cos-sin
22=(cos+sin)21+sin??
22????cos2-sin2
22????
=
cos??√32
=-2,故选B.
1√322
1
4.C 因为sin 150°=>0,cos 150°=-<0,所以角α终边上一点的坐标为(,-),所以该点在第
2
1
四象限,由三角函数的定义得sin α=-2,又0°≤α<360°,所以角α 的值是300°,故选C. 5.C ∵
1+cos??sin??
√3=2,∴cos α=2sin α-1,又sin2α+cos2 α=1,∴sin2 α+(2sin α-1)2=1,∴5sin2α-4sin
9
α=0,∴sin α=或sin α=0(舍去),∴cos α-3sin α=-sin α-1=-.故选C.
5
5
4
6. cos2165°-sin215°=cos215°-sin215°=cos 30°=. 7.-2-√3 依题意得tan α=√3,tan(α+4)=1-tan??=1-4
sin??
π
tan??+1√3+1=-2-√3. √3√32√32
8.-5 解法一 由tan α=cos??=3,得sin α=3cos α,所以sin2α=9cos2α,即1-cos2α=9cos2α,所以cos2α=10,所以cos 2α=2cos2α-1=-5.
解法二 cos 2α=2cos2α-1=2·-1=2·-1=-5. sin2??+cos2??tan2??+1B组提升题
9.C 由f '(x)=2x2,得tan α=f '(1)=2,所以
sin2??-cos2??
2sin??cos??+cos2??2tan??+15
cos2??
1
4
1
4
=
tan2??-1
=.故选C.
π
π
3
10.A 由题意,可知θ为第一象限角或第三象限角,且tan θ=3,所以sin(2θ+3)=sin 2θcos 3+ cos 2θsin 3=sin θcos θ+2(1-2sin2θ)=A.
11.D sin 2θ+cos 2θ=2sin θcos θ+cos2θ-2sin??cos??+cos2??-sin2??2tan??+1-tan2??2×(-2)+1-(-2)2sinθ===
sin2??+cos2??125
tan2??+1
(-2)+1
22
π√3sin??cos??-√3sin2??√3tan??-√3tan2??√33-9√3√33-4√3+2=tan2??+1+2=10+2=10.故选sin2??+cos2??
=-5,故选D.
7
12.2 ∵sin(π+θ)+2sin(π-θ)=0,
10
11
∴sin(5+θ)=-2sin(10-θ)=-2sin[π+(10-θ)]=2sin(10-θ)=2cos[2-(10-θ)]=2cos(5+θ), ∴tan(5+θ)=
42π
2π
+??)52πcos(+??)
52π11πππππ2π
sin(
=2.
1
1
1
13.-3 将sin θ+cos θ=5两边平方,得1+2sin θcos θ=25.变形,得1-2sin θcos θ=2-25,即(sin θ-cos θ)2=25.又 θ∈(2,π),所以sin θ-cos θ>0,则sin θ-cos θ=5,所以sin θ=5,cos θ=-5,tan θ=cos??=-3.
49
π
7
4
3
sin??
4
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三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式
