北京市朝阳区2013—2014学年度高一年级第二学期期末统一
考试
数学学科试卷
2014.7
（考试时间100分钟 满分100分）
一、选择题：本大题共10小题,每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项. 1．与角?80?终边相同的角是
A．80? B．100? C．240? D．280? 2. 若角a的终边经过点P(-1,2)，则sina等于 A. -525255 B. C. D. - 55553. 设x?R，平面向量a?(1,x?1)，b?(x,2)，若a//b，则x的值为
A.2或?1 B. ?2或1 C. 2 D.
2 34．若直线经过点A(1,0)，B(2,3)，则直线AB的倾斜角的大小为 A．30 B．45 C．60 D．90 5．已知数列{an}为等差数列，且a3?9，a5?3，则a9等于
A．?9 B．?6 C．?3 D．27
oooouuuuruuur6．如图，M是△ABC的边AB的中点，若CM?a，CA?b， uuur 则CB?
A．2a+b B．2a?b （第6题图）
C．a+2b D．a?2b 7. 已知?为锐角，且cos(???4)?，则cos?等于 654?334?33A. B.
101043?343?3 D. 1010y2-5π12O C.
π3-2x8. 函数f(x)?2sin(?x??)(??0,?示，则?,?的值分别是 A.2,?
?????)的部分图象如图所 22????
B. 4, C. 4,? D. 2,? 3366
（第8题
图）
uuruuuruuuruuuruuur9.已知O是?ABC内部一点，且3OA+OB+OC=0，AB?AC则?OBC的面积为 A．
6， ?BAC60o，
93333 B． C．3 D．
55510. 已知数列{an}和{bn}，满足ak?1?ak?bk， k?1,2,3,L.若存在正整数N，使得
aN?a1成立，则称数列{an}为N 阶“还原”数列.下列条件：
k①|bk|?1；②|bk|?k；③|bk|?2，可能使数列{an}为8阶“还原”数列的是
A．① B．①② C． ② D．②③
二、填空题：本大题共6小题,每小题4分，共24分，答案写在答题卡上.
1，且?为第四象限角，那么tan?= ． 212. 已知点P在直线x?y?0上，且点P到原点与到直线x?y?2?0的距离相等，则点P11．如果cos?=的坐标为_____.
13. 已知平面向量a，b满足|a| = 3，|b| = 2，且a与b的夹角为60?，则a?2b= . 14.已知数列{an}的前n项和Sn?42an?(n?N?)，则a1? ，an? . 33
15.如图，在坡角为15?(?CAD?15? )的山坡顶上有一个高度为50米的中国移 动信号塔BC，在坡底A处测得塔顶B的仰角为45?（?BAD?45?），则 塔顶到水平面AD的距离（BD）约为________米.（结果保留整数，3?1.732)
(第15题图)
?x?2y?1?0,?16. 设关于x,y的不等式组?x?a,表示的平面区域为D.若在平面区域D内存在
?y?a?0?点P(x0,y0)，满足3x0?4y0?5，则实数a的取值范围是 __.
三、解答题：本大题共4小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分9分）
22设函数f(x)?2sinx?sinxcosx?cosx.
（I）求函数f(x)的最小正周期；
（II）求函数f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值． 18. （本小题满分9分）
已知点A(2,3)，B(?2,?1)，直线MN过原点，其中点M在第一象限，MN∥AB，且MN?22，直线AM和直线BN的交点C在y轴上. （I）求直线MN的方程； （II）求点C的坐标.
19. （本小题满分9分）
在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，(2a?c)cosB?bcosC. （I）求角B的大小；
（II）若b?3，求a?c的最大值.
?2
20.（本小题满分9分）
已知数列?an?满足a1?a2（I）设bn?an?1??11，当n?2时，an?1?an?an?1. 241an，证明数列?bn?是等比数列； 2（II）求数列?an?的通项公式； （Ⅲ）设cn?
n?5an，数列?cn?的前n项和为Sn.是否存在整数M，使得Sn?M恒成n立?若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由.
北京市朝阳区2013—2014学年度高一年级第二学期期末统一考
试
数学学科试卷
参考答案及评分标准
一. 选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.
1 D 2 B 3 A 4 C 5 A 6 B 7 D 8 D 9 D 10 C 2014.7
二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
11. ?3 12.(?1,1)或(1,?1) 13. 14.2， 22n?1?37
5,n?N 15.68 16.[,??)7三.解答题：本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本题满分9分） 解：（I）f(x)?2sinx?sinxcosx?cosx
22?sin2x?sinxcosx+1
113?sin2x?cos2x? 222?2π3sin（2x?)?. 242函数f(x)的最小正周期T?（II）因为0?x?2π?π. ……………………………………………5分 2?????，所以??2x??． 2444当2x?当2x?3?2????时，f(x)有最大值，最大值为； ?，即x?2428????，即x?0时，f(x)有最小值，最小值为1．……………………944分 18.（本小题满分9分）
解：（I）由点A(2,3)，B(?2,?1)的坐标可求得直线AB的斜率kAB?3?1?1. 2?2又因为MN∥AB，所以直线MN的斜率k?1.
则直线MN的方程为y?x. ………………………………………………………
4分
（II）设M(a,a)（a?0），N(b,b)，
由已知直线AM和直线BN的交点C在y轴上，则a?2,b??2. 由MN?22，可得(a?b)2?(a?b)2?22，故a?b?2.
a?3a(x?2)，令x?0，得C(0,). a?2a?2b?1b直线BN的方程为y?1?(x?2)，令x?0，得C(0,).
b?2b?2ab所以，化简得a??b. ?a?2b?2直线AM的方程为y?3?将其代入a?b?2，并且a?0，得a?1，b??1.
则C点坐标为(0,?1). ………………………………………………………9分
19.（本小题满分9分）
解：（I）因为(2a?c)cosB?bcosC，由正弦定理得：
(2sinA?sinC)cosB?sinB?cosC.
整理得2sinAcosB?sinBcosC?sinC?cosB?sin(B?C)?sinA. 因为A?(0,?)， 所以sinA?0. 则cosB?所以B?4分
（II）由余弦定理得： b?a?c?2accosB.
将已知代入可得：3?a?c?2accos221. 由B?(0,?)， 2?. ……………………………………………………………………322222?. 3a?c2(a?c)2)?因为(a?c)?3ac?(a?c)?3?(， 24(a?c)2所以3?.
4则a?c?23，当且仅当a?c?9分
3时，a?c取得最大值为23. ………………
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