高中数学直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质教案

证明过程体现了一种重要的数学转化思想方法：“线线垂直→线面垂直→线线垂直” ．

例2 求证：如果两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．已知?⊥r，?⊥r，?∩?= l，求证：l⊥r．

【分析】根据直线和平面垂直的判定定理可在r内构造两相交直线分别与平面?、?垂直．或由面面垂直的性质易在?、?内作出平面r的垂线，再设法证明l与其平行即可．

【证明】法一：如图，设?∩r = a ，?∩r = b，在r内任取一点P．过点P在r内作直线m⊥a，n⊥b．

∵?⊥r，?⊥r，

∴m⊥a，n⊥?（面面垂直的性质）． 又?∩?= l，

∴l⊥m，l⊥n．又m∩n = P，m，n?r ∴l⊥r．

法二：如图，设?∩r = a，?∩r = b，在?内作m⊥a，在?内作n⊥b． ∵?⊥r，?⊥r， ∴m⊥r，n⊥r．

∴m∥n，又n??，m??， ∴m∥?，又?∩?= l，m??， ∴m∥l，

又m⊥r，∴l⊥r．

【评析】充分利用面面垂直的性质构造线面垂直是解决本题的关键．证法一充分利用面面垂直、线面垂直、线线垂直相互转化；证法二涉及垂直关系与平行关系之间的转化．此题是线线、面面垂直转化的典型题，通过一题多解，对沟通知识和方法，开拓解题思路是有益的．