数学北师大选修课后训练：第二章§数学归纳法的应用 含解析

数学归纳法的应用练习

1用数学归纳法证明2≥n(n≥5，n∈N＋)成立时第二步归纳假设的正确写法是( )． A．假设n＝k时命题成立 B．假设n＝k(k∈N＋)时命题成立 C．假设n＝k(k≥5)时命题成立 D．假设n＝k(k＞5)时命题成立 2对于不等式n2?n

2(1)当n＝1时，1?1<1?1，不等式成立．

n2

(2)假设当n＝k(k∈N＋，且k≥1)时，不等式成立，即k2?k

∴当n＝k＋1时，不等式也成立．

在上述证明过程中( )．

A．过程全部正确 B．n＝1时验证不正确

C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1推理不正确

n3设n∈N＋，则2与n的大小关系是( )．

nnnA．2＞n B．2＜n C．2＝n D．不确定

4平面内原有k条直线，它们的交点个数记为f(k)，则增加一条直线l后，它们的交点个数最多为( )．

A．f(k)＋1 B．f(k)＋k C．f(k)＋k＋1 D．k·f(k)

n＋12

5用数学归纳法证明“2≥n＋n＋2(n∈N＋)”时，第一步验证为____________________．

a6设a为有理数，x＞－1．如果0＜a＜1，证明：(1＋x)≤1＋ax，当且仅当x＝0时等号成立．

111???<2n(n∈N＋)． 23n1118已知：Sn?1????(n＞1，n∈N＋)．

23nn求证：S2n?1?(n≥2，n∈N＋)．

27证明不等式：1?

参考答案

1 答案：C 由题意知n≥5，n∈N＋， 故应假设n＝k(k≥5)时命题成立．

2 答案：D 用数学归纳法证题的关键在于合理运用归纳假设．

nnn3 答案：A 2＝(1＋1)，根据贝努利不等式有(1＋1)≥1＋n×1＝1＋n，上式右边舍

nn去1，得(1＋1)＞n，即2＞n．

4 答案：B 第k＋1条直线与前k条直线都相交于不同的交点，此时应比原来增加k个交点．

1＋12

5 答案：当n＝1时，左边＝2＝4＝1＋1＋2＝4＝右边，不等式成立．

6 答案：证明：0＜a＜1，令a?式，

得(1?x)?(1?x)＝

am，1≤m＜n，其中m，n为正整数，则由平均值不等nm n?1?x??1?x??nm个??1?x??xx??n?m?个m?1?x???n?m?mx?nm?=1+x?1?ax，

nnn当且仅当1＋x＝1，即x＝0时，等号成立．

7 答案：证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边＜右边，不等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，不等式成立， 即1+11??23?1<2k成立． k则当n＝k＋1时， 左边

2k?k?1??111111 ????<2k??23kk?1k?1k?1k?k?1?1

k?1=1+即当n＝k＋1时，不等式成立．

由(1)、(2)得原不等式对n∈N＋成立． 8 答案：证明：(1)当n＝2时，S2?1?即n＝2时命题成立．

(2)假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时命题成立，即S2k?1?当n＝k＋1时，

2111252????1?， 23412211??23?1k． ?1?2k211S2k+1?1???23?2k11??kk22?1?1 k?12k111?k?k??k?1 22?12?22k2kk1k?1?1??k?1???1?．

22?2k222?1?故当n＝k＋1时，命题也成立．

由(1)、(2)知，对n∈N＋，n≥2，S2n?1+

n成立． 2