专升本高等数学知识点汇总
常用知识点：
一、常见函数的定义域总结如下：
（1）
y?kx?by?ax?bx?c2一般形式的定义域：x∈R
（2）y?（3）y?k 分式形式的定义域：x≠0 xx 根式的形式定义域：x≥0
（4）y?logax 对数形式的定义域：x＞0
二、函数的性质
1、函数的单调性
当x1?x2时，恒有f(x1)?f(x2)，f(x)在x1，x2所在的区间上是增加的。 当x1?x2时，恒有f(x1)?f(x2)，f(x)在x1，x2所在的区间上是减少的。 2、 函数的奇偶性
定义：设函数y?f(x)的定义区间D关于坐标原点对称（即若x?D，则有?x?D） (1) 偶函数f(x)——?x?D，恒有f(?x)?f(x)。 (2) 奇函数f(x)——?x?D，恒有f(?x)??f(x)。
三、基本初等函数
1、常数函数：y?c，定义域是(??,??)，图形是一条平行于x轴的直线。 2、幂函数：y?x， (u是常数)。它的定义域随着u的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数
u 1
定义: y?f(x)?ax， (a是常数且a?0，a?1).图形过（0,1）点。 4、对数函数
定义: y?f(x)?logax， (a是常数且a?0，a?1)。图形过（1,0）点。 5、三角函数
(1) 正弦函数: y?sinx
T?2?， D(f)?(??,??)， f(D)?[?1,1]。
(2) 余弦函数: y?cosx.
T?2?， D(f)?(??,??)， f(D)?[?1,1]。
(3) 正切函数: y?tanx.
T??， D(f)?{x|x?R,x?(2k?1)(4) 余切函数: y?cotx.
?2,k?Z}， f(D)?(??,??).
T??， D(f)?{x|x?R,x?k?,k?Z}， f(D)?(??,??).
5、反三角函数
(1) 反正弦函数: y?arcsinx，D(f)?[?1,1]，f(D)?[???,]。 22(2) 反余弦函数: y?arccosx，D(f)?[?1,1]，f(D)?[0,?]。 (3) 反正切函数: y?arctanx，D(f)?(??,??)，f(D)?(???,)。 22(4) 反余切函数: y?arccotx，D(f)?(??,??)，f(D)?(0,?)。
极限
一、求极限的方法
1、代入法
代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法
（1）利用极限的四则运算法则求极限。 （2）利用等价无穷小量代换求极限。 （3）利用两个重要极限求极限。 （4）利用罗比达法则就极限。
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二、函数极限的四则运算法则
设limu?A， limv?B，则
x??x??（1）lim(u?v)?limu?limv?A?B
x??x??x??（2）lim(u?v)?limu?limv?AB.
x??x??x??推论
（a)lim(C?v)?C?limv， (C为常数)。
x??x??（b）limu?(limu)
x??x??nnuAulimx??（3）lim??， (B?0).
x??vlimvBx??（4）设P(x)为多项式P(x)?a0xn?a1xn?1???an， 则limP(x)?P(x0)
x?x0（5）设P(x),Q(x)均为多项式， 且Q(x)?0， 则 limP(x)P(x0) ?x?x0Q(x)Q(x0)三、等价无穷小
常用的等价无穷小量代换有：当x?0时，sinx~x，tanx~x，arctanx~x，
12x。 2 ?0时，sin□ ~□ ，其余类对这些等价无穷小量的代换，应该更深一层地理解为：当□arcsinx~x，ln(1?x)~x，ex?1~x，1?cosx~似。
四、两个重要极限
重要极限I limsinx?1。
x?0xsin□ ?1
□ ?0□ 它可以用下面更直观的结构式表示：limx?1?重要极限II lim?1???e。
x???x? 3
1??其结构可以表示为：lim?1???e
□ ?? ??□□ 八、洛必达(L’Hospital)法则
0?f(x)f'(x)“”型和“”型不定式，存在有lim。 ?lim'?A（或?）
x?ax?a0?g(x)g(x)一元函数微分学 一、导数的定义
设函数y?f(x)在点x0的某一邻域内有定义，当自变量
x在x0处取得增量?x（点
x0??x仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量?y?f(x0??x)?f(x0)。如果当
?x?0时，函数的增量?y与自变量?x的增量之比的极限
?x?0
lim
f(x0??x)?f(x0)?y=lim=f? 注意两个符号?x和x0在题目中可能换成其（x0）?x?0?x?x他的符号表示。
二、求导公式
1、基本初等函数的导数公式
（1）(C)??0 (C为常数) （2）(x)???xxx???1（?为任意常数）
xx（3）(a)??alna(a?0,a?1) 特殊情况(e)??e （4）(logax)??111logae?(x?0,a?0,a?1)， (lnx)??
xxxlna（5）(sinx)??cosx （6）(cosx)???sinx
'（7）(tanx)?1 2cosx4
'（8）(cotx)??1 sin2x（9）(arcsinx)?'11?x2(?1?x?1)
（10）(arccosx)??'11?x2(?1?x?1)
1 21?x1'（12）(arccotx)?? 21?x'（11）(arctanx)?2、导数的四则运算公式
（1）[u(x)?v(x)]??u?(x)?v?(x) （2）[u(x)v(x)]??u?(x)v(x)?u(x)v?(x) （3）[ku]??ku?（k为常数）
??u(x)?u?(x)v(x)?u(x)v?(x)?（4）? ?2v(x)v(x)??3、复合函数求导公式：设y?f(u), u??(x)，且f(u)及?(x)都可导，则复合函数
y?f[?(x)]的导数为
dydydu???f'(u).??(x)。 dxdudx三、导数的应用
1、函数的单调性
f'(x)?0则f(x)在(a,b)内严格单调增加。 f'(x)?0则f(x)在(a,b)内严格单调减少。
2、函数的极值
f'(x)?0的点——函数f(x)的驻点。设为x0
（1）若x?x0时，f(x)?0；x?x0时，f(x)?0，则f(x0)为f(x)的极大值点。 （2）若x?x0时，f(x)?0；x?x0时，f(x)?0，则f(x0)为f(x)的极小值点。 （3）如果f(x)在x0的两侧的符号相同，那么f(x0)不是极值点。 3、曲线的凹凸性
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