圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台第19章含参量积分19.1本章要点详解本章要点■含参量正常积分的定义■含参量正常积分的性质■含参量反常积分的一致收敛性■一致收敛性判别法■含参量反常积分的性质■?函数■B函数重难点导学一、含参量正常积分1．含参量正常积分的定义设f（x，y）是定义在矩形区域上的二元函数，当x取[a，b]上某定值时，函数f（x，y）则是定义在[c，d]上，以y为自变量的一元函数．若f（x，y）在[c，d]上可积，则其积分值是x在[a，b]上取值的函数，记它为φ（x），就有?(x)??f(x,y)dy,x?[a,b]
cd（19-1）设f（x，y）为定义在区域G＝{（x，y）∣c（x）≤y≤d（x），a≤x≤b}上的二元函数，1/15圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台其中c（x），d（x）为定义在[a，b]上的连续函数（如图19-1所示），若对于[a，b]上每一固定的x值，f（x，y）作为y的函数在闭区间[c（x），d（x）]上可积，则其积分值是x在[a，b]上取值的函数，记作F（x），则F(x)??
d(x)
c(x)
f(x,y)dy,x?[a,b]
（19-2）函数（19-1）与函数（19-2），通称为定义在[a，b]上含参量x的（正常）积分，或简称含参量积分．图19-12．含参量正常积分的连续性（1）若二元函数f（x，y）在矩形区域上连续，则函数d?(x)??f(x,y)dy
c在[a，b]上连续．注：定义在矩形区域上的连续函数，其极限运算与积分运算的顺序是可以交换的．（2）设二元函数f（x，y）在区域上连续，其中c（x），d（x）为[a，b]上的连续函数，则函数F(x)??
d(x)
c(x)
f(x,y)dy
2/15圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台在[a，b]上连续．3．含参量正常积分的可微性（1）若函数f（x，y）与其偏导数fx(x,y)都在矩形区域R＝[a，b]×[c，d]上连续，则?(x)??f(x,y)dy
cd在[a，b]上可微，且d?dd
f(x,y)dy?f(x,y)dy??ccdx?x（2）设f（x，y）、fx（x，y）在R＝[a，b]×[p，q]上连续，c（x）、d（x）为定义在[a，b]上，其值含于[p，q]内的可微函数，则函数F(x)??
在[a，b]上可微，且d(x)
c(x)
f(x,y)dy
4．含参量正常积分的可积性（1）若f（x，y）在矩形区域R＝[a，b]×[c，d]上连续，则φ（x）和ψ（y）分别在[a，b]和[c，d]上可积,其中?(x)?
?
dcf(x,y)dy，?（y）??f(x,y)dx．ab（2）若f（x，y）在矩形区域R＝[a，b]×[c，d]上连续，则?dx?
a
bd
c
f(x,y)dy??dy?f(x,y)dx
c
a
db
二、含参量反常积分1．含参量反常积分的一致收敛性（1）相关定义①设函数f（x，y）定义在无界区域R?(x,y)x?I,c?y???上，其中I为一区间，??3/15圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台若对每一个固定的x?I，反常积分?
??cf(x,y)dy
（19-3）都收敛，则它的值是x在I上取值的函数，当记这个函数?(x)时，则有?(x)??
??cf(x,y)dy,x?I
称式（19-3）为定义在I上的含参量x的无穷反常积分，或简称含参量反常积分．②若含参量反常积分（19-3）与函数?(x)对任何给的正数?，总存在某一实数N＞c，使得M＞N，对一切x?I，都有?
即M
c
f(x,y)dy??(x)＜??
致收敛．（2）一致收敛性判别法①一致收敛的柯西准则??
M
f(x,y)dy＜?则称含参量反常积分（19-3）在I上一致收敛于?(x)，或称含参量积分（19-3）在I上一含参量反常积分（19-3）在I上一致收敛的充要条件是：对任何给正数?，总存在某一实数M＞c，使得A1，A2＞M时，对一切x?I，都有?
②含参量积分A2
A1
f(x,y)dy＜??
??cf(x,y)dy在I上一致收敛的充分且必要条件是A???limF(A)?0
其中F(A)?sup?
x?I
??A1
f(x,y)dy
③含参量反常积分（19-3）在I上一致收敛的充要条件是：对任一趋于??的递增数列，函数项级数?An?（其中A1＝c）4/15圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台??
n?1
?An?1An
f(x,y)dy??un(x)
n?1
?在I上一致收敛．④魏尔斯特拉斯M判别法设有函数g（y），使得f(x,y)?g(y),(x,y)?I??c,???若?
??cg(y)dy收敛，则?
??cf(x,y)dy在I上一致收敛．⑤狄利克雷判别法设a．对一切实数N＞c，含参量正常积分?
?
N
Ncf(x,y)dy
对参量x在I上一致有界，即存在正数M，对一切N＞c及一切x?I，都有c
f(x,y)dy?M
b．对每一个x?I，函数g（x，y）为y的单调函数，且当y???时，对参量x，g（x，y）一致地收敛于0，则含参量反常积分?在I上一致收敛．⑥阿贝尔判别法设??cf(x,y)g(x,y)dya．?
??cf(x,y)dy在I上一致收敛；b．对每一个x?I，函数g（x，y）为y的单调函数，且对参量函数x，g（x，y）在I上一致有界，则含参量反常积分5/15
华东师范大学数学系《数学分析》讲义含参量积分【圣才出品】
