考点规范练18 任意角、弧度制及任意角的三角函数
考点规范练B册第11页
基础巩固
1.若sin α<0,且tan α>0,则α是( ) A.第一象限角 C.第三象限角 答案:C
解析:∵sinα<0,∴α的终边落在第三、第四象限或y轴的负半轴. 又tanα>0,∴α在第一象限或第三象限.综上可知,α在第三象限. 2.将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角的弧度数是( ) A.3 答案:A
解析:将表的分针拨慢应按逆时针方向旋转,故选项C,D不正确. ∵拨慢10分钟,∴转过的角度应为圆周的=,即为×2π=.
12
6
6
3
2
1
1
π
π
B.第二象限角 D.第四象限角
B.6 π
C.-3 π
D.-6
π
3.(2019河北石家庄模拟)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°,cos 150°),则α=( ) A.150° 答案:C
解析:由sin150°=2,cos150°=-2,可知角α终边上一点的坐标为(2,-2),故α为第四象限角.由三角函数的定义得sinα=-,因为0°≤α<360°,所以α=300°.
4.如果1弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长为( ) A.sin0.5 答案:A
1
√32
1
√31
√3B.135° C.300° D.60°
B.sin 0.5 C.2sin 0.5 D.tan 0.5
1
解析:连接圆心与弦的中点,则由弦心距、弦长的一半、半径构成一个直角三角形,弦长的一半为1,其所对的圆心角为0.5,故半径为sin0.5,这个圆心角所对的弧长为sin0.5.故选A.
5.(2019安徽示范高中高三测试)已知角θ的顶点在坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边经过点P(4,y),且sin θ=-5,则tan θ=( ) A.-3 答案:C
解析:由题意可知,r=√16+??2,sinθ=??=
????4
3
1
1
B.3 4
C.-4 3
D.4 3
√16+??=-5,解得y=-3,所以P(4,-3),所以tanθ=-4. 233
6.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是( ) A.(-2,3] 答案:A
3??-9≤0,
解析:由cosα≤0,sinα>0可知,角α的终边在第二象限或y轴的正半轴上,所以有{解
??+2>0,得-2 7.已知角α的终边上一点P的坐标为(sinA. 5π6 2π3 B.(-2,3) C.[-2,3) D.[-2,3] ,cos 2π3 ),则角α的最小正值为( ) D. 11π6 B. 2π3 C. 5π3 答案:D 解析:由题意知点P在第四象限,根据三角函数的定义得cosα=sin以α的最小正值为 11π6 2π3 = √3,故2 α=2kπ-6(k∈Z),所 π . π3 8.已知点A的坐标为(4√3,1),将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB,则点B的纵坐标为( ) A. 3√32 B. 5√32 C. 2 11 D. 2 13 答案:D 解析:由点A的坐标为(4√3,1),可知OA绕坐标原点O逆时针旋转3至OB,则OB边仍在第一象限. 故可设直线OA的倾斜角为α,B(m,n)(m>0,n>0),则直线OB的倾斜角为3+α. π π 2 1因为A(4√3,1),所以tanα=1√3+√3132 27 2 43,tan(π ????√3+??)= ??,??= 41-√3×1=4√33√3,即m=169n, 因为m2+n2=(4√3)2+12 =49, 所以n2 +27 2 131313 169n=49,所以n=2或n=-2(舍去),所以点B的纵坐标为2. 9.若点P(3,y)是角α终边上的一点,且满足y<0,cos α=3 5,则tan α= . 答案:-4 3 解析:由三角函数定义,知cosα=33 √9+??2=5 ,且y<0, 可解得y=-4.故tanα=??4 ??=-3. 10.已知角α的终边在直线y=-3x上,则10sin α+3 cos??的值为 . 答案:0 解析:设角α终边上任一点为P(k,-3k),则r=√??2+(-3??)2 =√10|k|. 当k>0时,r=√10k, ∴sinα=-3??31 √10??√10??=-√10,cos??= ??=√10, ∴10sinα+3cos??=-3√10+3√10=0; 当k<0时,r=-√10k, ∴sinα=-3??31-√10??-√10??=√10,cos??=??=-√10, ∴10sinα+3 cos??=3√10-3√10=0. 综上,10sinα+3 cos??=0. 11.设角α是第三象限角,且|sin??2 |=-sin ??,则角??2 2 是第 象限角. 答案:四 解析:由α是第三象限角,可知2kπ+π<α<2kπ+3π2 (k∈Z). 3 故kπ+2<2 (k∈Z),即2是第二或第四象限角. ????又|sin2|=-sin2,故sin2<0. 因此只能是第四象限角. 2 ??12.已知扇形的周长为40,则当扇形的面积最大时,它的半径和圆心角分别为 . 答案:10,2 解析:设扇形的半径为r,圆心角为θ,则rθ+2r=40. ∴扇形的面积S=2??r=2(40-2r)r=-r+20r=-(r-10)+100≤100. ∴当且仅当r=10时,S有最大值100,此时10θ+20=40,θ=2.∴当r=10,θ=2时,扇形的面积最大. 能力提升 13.已知角α=2kπ-5(k∈Z),若角θ与角α的终边相同,则y=|sin??|+|cos??|+|tan??|的值为( ) A.1 答案:B 解析:由α=2kπ-5(k∈Z)及终边相同的角的概念知,角α的终边在第四象限. 又角θ与角α的终边相同,所以角θ是第四象限角. 所以sinθ<0,cosθ>0,tanθ<0. 所以y=-1+1-1=-1. 14.下列结论错误的是( ) A.若0<α<2,则sin α B.若α是第二象限角,则为第一象限或第三象限角 2 π ππ sin??cos??tan??1 2 1 22 B.-1 C.3 D.-3 ??C.若角α的终边过点P(3k,4k)(k≠0),则sin α= 5 4 D.若扇形的周长为6,半径为2,则其圆心角的大小为1弧度 答案:C 解析:若0<α<2,则sinα π sin?? 4 若α是第二象限角,则∈(+??π,??π+)(k∈Z),则为第一象限角或第三象限角,故B正确; ??ππ??2422若角α的终边过点P(3k,4k)(k≠0), 则sinα=4??4??4 √9??2+16??2=5|??|,不一定等于5,故C不正确; 若扇形的周长为6,半径为2,则弧长=6-2×2=2,其圆心角的大小为1弧度,故D正确. 15.在与2 010°终边相同的角中,绝对值最小的角的弧度数为 . 答案:-5π6 解析:∵2010°=67π6 =12π-5π6 , ∴与2010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为-5π6 . 16.函数y=√sin??+√1 2-cos??的定义域是 . 答案:[π 3+2??π,π+2??π](k∈Z) 解析:由题意知{sin??≥0,sin??≥0, 11 2-cos??≥0,即{ cos??≤2 .由满足上述不等式组的三角函数线,得x的取值范围为π 3+2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z. 17.顶点在原点,始边在x轴的正半轴上的角α,β的终边与单位圆交于A,B两点,若 α=30°,β=60°,则弦AB的长为 . 答案: √6-√22 解析:由三角函数的定义得A(cos30°,sin30°),B(cos60°,sin60°), 即A(√31 1 √32,2),B(2,2 ). 1√32√312所以|AB|=√(=√2(√31√6-√22-2)+(2-2)2-2)=2. 高考预测 18.已知角θ的终边上有一点(a,a),a∈R,且a≠0,则sin θ的值是 . 答案:√2√22或-2 5
2021高考数学大一轮复习考点规范练18任意角蝗制及任意角的三角函数理新人教A版
