1．（1）操作发现·
如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF＝DF，你同意吗？说明理由． （2）问题解决
保持（1）中的条件不变，若DC＝2DF，求AD的值；
ABA E D F G （3）类比探究
保持（1）中的条件不变，若DC＝n·DF，求AD的值．
ABB C 2．如图1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB＝75o，以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上． （1）求∠AED的度数； （2）求证：AB＝BC；
（3）如图2所示，若F为线段CD上一点，∠FBC＝30o．
DF求 的值． FCA D A D F 3.如图①，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F．AD＝
E 2cm，BC＝6cm，AE＝4cm．点PE 、Q分别在线段AE、DF上，顺次连接B、P、Q、C，C C B B AE上运动时，点线段BP、PQ、QC、CB所围成的封闭图形记为M．若点P在线段
图1
图2
2
Q也随之在线段DF上运动，使图形M的形状发生改变，但面积始终为10cm．设．．
EP＝x cm，FQ＝y cm，解答下列问题：
（1）直接写出当x＝3时y的值；
（2）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当x取何值时，图形M成为等腰梯形？图形M成为三角形？ （4）直接写出线段PQ在运动过程中所能扫过的区域的面积．
A D A D P 4．如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角Q 形纸片△ABC，△A1B1C1．
A A1 （1）将△ABC，△A1B1C1如图②摆放，使点B重合，点B1在AC边的延长B C A1与B C E F E F 图① 线上，连接CC1交BB1于点E．求证：∠B1C1C＝∠B1BC． （备用图） C C1
C1 (A（2）若将△ABC，△A1B1C1如图③摆放，使点BB 1与1B重合，点A1在AC边的延
长线上，连接CC1交A1B于点F．试判断∠A1C1C与∠A1BC是否相等，并说明理由．
) E B B1 图 ① B (B15．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°C A BC11 ② 角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知图AB＝23，P是AC上的一个动点．
) F （1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长； C A A1 图 ③
（2）当点P在运动过程中出现PD＝BC时，求此时∠PDA的度数；
（3）当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上？求出此时□DPBQ的面积．
D 6．如图1，已知长方形ABED，点C是边DE的中点，且C AB＝2AD． （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）保持图1中ABC的固定不变，绕点C旋转DE所在的直线A B MN到图2中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明；
（3）保持图2中△ABC的固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的异侧）．试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明．
D A C E B M D A C E N
C E B A N
图1 图2
D
B 7．如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD，∠BAD＝120°，∠MAN＝60°，将图1中的∠MAN绕点A按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜120°），边AM、
AN分别交直线BC、CD于E、F两点．
（1）当
0°＜α≤60°时，其他条件不变，如图2、如图3所示．
①如图2，判断线段BE、DF、EF的数量关系，并直接写出结论；
②如图3，①中的结论是否依然成立？若成立，请利用图3证明；若不成立，说明理由．
（2）当60°＜α＜120°时，其他条件不变，请在图4中画出一个符合条件的．．图形，直接写出所画图形中线段A BE、DFD 、EF的数量关系．A D 8．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，
B B C E 过点C作CF∥DE交AB于点F．
M M N （1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：EF＝CD； 图1 A A D （2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；C F 图2
N D F （3）若点D是BC边的任意一点（除B、C外如图②），那么，（1）中的结论是N B C B C A A E 否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
M 图3 图4 F F BC＜AB＜2BC．在AB9．如图1，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，边上取一点M，使E E AM＝BC，过点A作AD⊥AB且AD＝BM，连接DC，再过点A作AN∥DC，交直线CM、B D C B D C CB于点E、N． 图② 图①
（1）求证：∠AEM＝45°；
（2）若将题中的条件“BC＜AB＜2BC”改为“AB＞2BC”，其它条件不变，请在图2中画出图形，此时（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请猜想∠AEM的度数，并说明理由．
C D C N E 10．在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，A M B B 将线段PA绕点P顺时针旋转图2α1 得到线段PQ． A 图2
（1）若α＝60°且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；
（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；
（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ＝QD，请直接写出
α的范围．
A A B M P 11．已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，连接M (PB Q Q C AD、BE，F为线段AD的中点，连接) CF． C 图2
（1）如图1，当点D在BC边上时，图1 BE与CF的数量关系是____________，位置
关系是____________，请证明；
（2）如图2，把△DEC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明；
A F E A 12.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作F EF⊥BD交BC于F，
D B 图1
E C D C B 图2
连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45o，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
A D A G E G D 13. 如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BCB E 交CD于点F．AB?4，BC?6，∠B?60?. （1）求点E到BC的距离；
B 第24题图① F F C C 第24题图②
（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM?EF交BC于点M，过M作
MN∥AB交折线ADC于点N，连结PN，设EP?x.
①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；
②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.
A E B 图1
D F C B A E B 图4（备
A E P N D F C B 图2
25A A E P D N F C M M 图3
D （第F C D F C 图5（备
E B
中考数学几何压轴题
