第3课时 几何法、反证法
课后篇巩固探究
A组
1.设实数a,b,c满足a+b+c=,则a,b,c中()
A.至多有一个不大于
B.至少有一个不小于
C.至多有两个不小于
D.至少有两个不小于
解析:假设a,b,c都小于,即a<,b<,c<,则a+b+c< ,这与a+b+c=矛盾,因此假设错误,即
a,b,c中至少有一个不小于 .
答案:B
2.用反证法证明“若关于x的整系数一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)有有理根,则a,b,c中至少有一个偶数”时,下列假设正确的是() A.假设a,b,c都是偶数 B.假设a,b,c都不是偶数 C.假设a,b,c至多有一个偶数 D.假设a,b,c至多有两个偶数 答案:B
3.设a,b,c均为正数,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是“P,Q,R同时大于零”的条件. 解析:必要性是显然成立的;当PQR>0时,若P,Q,R不同时大于零,则其中两个为负,一个为正,不妨设
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P>0,Q<0,R<0,则Q+R=2c<0,这与c>0矛盾,即充分性也成立.
答案:充要
4.设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a+b>2;⑤ab>1,其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是.(填序号)
解析:①a+b>1,可取a=0.5,b=0.6,故不正确;②a+b=2,可取a=1,b=1,故不正确;③a+b>2,则a,b中至少有一个大于1,正确;④a+b>2,可取a=-2,b=-1,故不正确;⑤ab>1,可取a=-2,b=-1,故不正确. 答案:③
5.若a+b=2,求证:a+b≤2.
证法一假设a+b>2,而a-ab+b= - b≥0.
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但取等号的条件为a=b=0,显然不成立.
∴a2-ab+b2>0,
∴a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)>2(a2-ab+b2).
又a+b=2,
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∴a2-ab+b2<1. ∴1+ab>a2+b2≥2ab, ∴ab<1, ∴a2+b2<1+ab<2.
∴(a+b)2=a2+b2+2ab<2+2ab<4. ∴a+b<2,这与假设矛盾. ∴a+b≤2.
证法二假设a+b>2,则a>2-b. 故2=a+b>(2-b)+b. 即2>8-12b+6b, 即(b-1)<0. 这与(b-1)≥0矛盾.
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∴a+b≤2.
6.已知x>0,y>0,且x+y>2,试证:
中至少有一个小于2. 证明假设
都不小于2,即 ≥2,且≥2. 因为x>0,y>0,所以1+x≥2y,且1+y≥2x. 把这两个不等式相加,得2+x+y≥2(x+y), 从而x+y≤2,这与已知条件x+y>2矛盾. 因此,
都不小于2是不可能的,即原命题成立.
7.设a,b∈R,0≤x≤1,0≤y≤1,求证:对于任意实数a,b必存在满足条件的x,y,使|xy-ax-by|≥成立.
证明假设对一切0≤x≤1,0≤y≤1,结论不成立,则有|xy-ax-by|<.
令x=0,y=1,有|b|<; 令x=1,y=0,有|a|<; 令x=y=1,得|1-a-b|<.
这与|1-a-b|≥1-|a|-|b|>1- 矛盾, 故假设不成立,原命题结论正确.
B组
1.用反证法证明命题:“若a,b∈N,ab能被3整除,则a,b中至少有一个能被3整除”时,假设应为() A.a,b都能被3整除 B.a,b都不能被3整除 C.a,b不都能被3整除 D.a不能被3整除
解析:反证法证明命题时,应假设命题的反面成立.“a,b中至少有一个能被3整除”的反面是“a,b都不能被3整除”,故应假设a,b都不能被3整除,故选B. 答案:B
2.若△A1B1C1的三个内角的余弦值分别为△A2B2C2的三个内角的正弦值,则△A1B1C1一定是锐角三角形,△A2B2C2一定是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
解析:因为三角形内角的正弦值均为正值,
所以△A1B1C1的三个内角的余弦值均为正值, 所以△A1B1C1为锐角三角形. 由于sin A2=cos A1=sin - ,
sin C2=cos C1=sin - ,
sin B2=cos B1=sin - , 若△A2B2C2是锐角三角形,
则A2+B2+C2= - - - ,与三角形内角和为π矛盾, 故△A2B2C2是钝角三角形. 答案:C
3.完成反证法证题的全过程.设a1,a2,…,a7是1,2,…,7的一个排列,求证:乘积p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)为偶数.
证明:假设p为奇数,则a1-1,a2-2,…,a7-7均为奇数. 因为奇数个奇数之和为奇数, 所以奇数==.
但0≠奇数,这一矛盾说明p为偶数.
解析:由题意,(a1-1)+(a2-2)+(a3-3)+…+(a7-7)=(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7). 答案:(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)
4.某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数f(x)在[0,1]上有意义,且f(0)=f(1),如果对于不同的
x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|,求证:|f(x1)-f(x2)|< ,那么它的假设应该是.
答案:|f(x1)-f(x2)|≥ 5.导学号35664023已知f(x)= ,a≠b,且ab>0,求证:|f(a)-f(b)|<|a-b|.
分析利用f(x)= 的结构特点构造几何中的两点间的距离来证明.
证明f(a)= 表示平面上点A(1,a)到点O(0,0)的距离,f(b)= 表示平面上点B(1,b)到点
O(0,0)的距离.而|a-b|表示A(1,a)与B(1,b)两点间的距离,如图所示.
∵a≠b,∴A,O,B三点组成一个三角形,由三角形两边之差的绝对值小于第三边可得|f(a)-f(b)|<|a-b|.
6.2
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导学号35664024已知△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,面积为S.求证:
(1)a+b+c≥4 S;
(2)tantan,tantan,tantan中至少有一个不小于. 证明(1)要证明a+b+c≥4 S,
只需证明a+b+a+b-2abcos C≥2 absin C, 只需证明a+b≥2absin ,
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只需证明a+b≥2ab,
只需证明(a-b)≥0,显然成立, 故a+b+c≥4 S.
(2)假设tantan,tantan,tantan都小于,
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则tantan+tantan+tantan<1.①
又tantan+tantan+tantan =tan +tan tan =tan tan - +tan tan =1.
这与①矛盾,故tantan,tantan,tantan中至少有一个不小于.
【精选】高中数学第一章不等关系与基本不等式1.4.3几何法反证法练习北师大版选修4_5
